19. November 2017 02:43
Các trang chính
· Trang Nhất
· Diá»…n đàn
· Tạp Chí MathVn
· Bản dịch Kvant
· Blogs
· FAQ
· Liên hệ
· Tìm kiếm
· Liên kết

· ThÆ° viện
Đăng nhập
Tên tài khoản

Mật khẩu



Có phải bạn chưa là thành viên của cộng đồng MathVn?
Nhấp vào đây để đăng ký.

Có phải bạn quên mật khẩu?
Yêu cầu mật khẩu mới ở đây.
Search Articles
Bạn có thể tìm kiếm và tải về trực tiếp các bài báo khoa học bằng cách nhập DOI ở ô tìm kiếm bên dưới. DOI có thể tìm thấy ngay trong trang xuất bản online của bài báo mà bạn muốn tải. Bạn có thể nhập DOI thí dụ sau: 10.1007/BF01192073



Wolfram Alpha
Tính toán trực tuyến với Wolfram Alpha bằng cách nhập từ khóa vào bên dưới


Donation
Cộng đồng MathVn hoạt động với mục đích phi lợi nhuận, tuy nhiên chúng tôi rất cần sự trợ giúp tài chính đề duy trì sự hoạt động của website cũng như ra mắt các ấn bản miễn phí, tổ chức các hoạt động offline... Mọi sự đóng góp dù nhỏ đều là quý báu và chúng tôi chân thành ghi nhận điều đó.



Wikipedia
Bạn có thể tra cứu các thuật ngữ Toán học qua Wikipedia bằng cách nhập từ khóa vào bên dưới



RSS Feeds
Subscribe to our Feeds

Latest Downloads
Latest News
Latest Articles
Latest Threads
Latest Weblinks

Validated Feeds

Trực tuyến
LONGbhkn19:16:10
Vnkvant 1 day
giangpna98 1 week
pvan1611 1 week
kqh26 1 week
angrypig298 2 weeks
legendarthas 3 weeks
tranthienchuong 3 weeks
Thành viên trực tuyến
· Khách trực tuyến: 1

· Thành viên trực tuyến: 0

· Tổng số thành viên: 2,538
· Thành viên mới nhất: nmhuy942
Bản dịch Kvant
· Đề ra kì này Số 04-2008
· Đề ra kì này Số 06-2006
· Đề ra kì này Số 05-2006
· Đề ra kì này Số 04-2006
· Đề ra kì này Số 03-2006
· Đê ra kì này Số 02-2006
· Đề ra kì này Số 01-2006
· Đề ra kì này Số 06-2002
· Đề ra kì này Số 04-2002
· Đề ra kì này Số 06-2001
Chủ đề diễn đàn
Chủ đề mới nhất
· Đại số...
· Bá»™ sách cá...
· Nhóm xyclic
· Điểm bấ...
· Tính giá»›i h...
· Bất đẳ...
· Korner's constructio...
· An inequality collec...
· Vài bài vá»...
· PhÆ°Æ¡ng trìn...
· L.C.Evans - PDE
· Olympic Sinh viên...
· Olympiad SV МФ...
· Generalization of so...
· Tặng daogiauvan...
· Mùa hè nóng...
· Collected inequality...
· Olympic SV Kiev
· Bất đẳ...
· Tài khoản MA...
· Bài tập vá...
· Chú ý: THÁN...
· Số Pi và nh...
· Chuyển công ...
· Ôn tập mÃ...
· Đăng ký tha...
· PhÆ°Æ¡ng pháp...
· Olympic Sinh viên...
· Olimpiad Toán Ä...
· Problem Of The Month I.
Chủ đề nóng nhất
· Nhờ download... [333]
· Vài bài tá... [85]
· Những Ä‘... [83]
· Problem Of The Mo... [76]
· BV Functions In O... [51]
· Đề thi tu... [47]
· Thông tin vÃ... [40]
· L.C.Evans - PDE [38]
· Các bạn t... [38]
· Problems of Purdu... [36]
· Problem of Washin... [36]
· Ôn tập m... [34]
· Olympic Sinh viÃ... [34]
· Olympic SV Kiev [33]
· Olympic Toán S... [33]
· PT vi phân [32]
· Ôn tập m... [31]
· Tính giá»›... [30]
· Call for papers-K... [30]
· Đóng góp... [30]
· Mùa hè nÃ... [28]
· Tuyển táº... [28]
· Cập nhậ... [28]
· Korner's construc... [27]
· Đăng ký ... [26]
· Nhờ download... [26]
· An inequality col... [25]
· Generalization of... [25]
· PhÆ°Æ¡ng phÃ... [25]
· Bất Ä‘á... [24]
· Má»™t câu ... [24]
· Tìm nghiá»... [24]
· Tích phân hay [23]
· Bài tập v... [22]
· Kì Thi Olympic... [22]
· Olimpiad Toán ... [21]
· Mathematics Magazine [21]
· PhÆ°Æ¡ng trÃ... [21]
· PhÆ°Æ¡ng trÃ... [20]
· Collected inequal... [20]
· Chuyển cô... [20]
· College Mathemati... [20]
· Olympic Sinh viÃ... [19]
· Tặng daogiau... [19]
· Tài khoản... [19]
· Chú ý: THÃ... [19]
· Số Pi và... [19]
· Phép biến... [19]
· Journal Ма... [19]
· The Qualifying Ex... [19]
Xem chủ đề
Cá»™ng Đồng MathVn » For Advanced Undergraduate and Graduate Students » Thảo luận
Korner's construction of a Besicovitch set
hoadai
Các bạn thân mến,

Tôi mới tham gia diễn đàn này, nhưng rất ấn tượng về sự say mê Toán của các thành viên ở đây. Tuy nhiên tôi cảm thấy tiếc là các bạn dành rất nhiều thời gian để giải các bài toán "kiểu olympic" trên MM, Crus, ect. Tất nhiên những bài toán đó là thú vị, nhưng chỉ ở 1 mức độ nào đó (có lẽ dành cho sinh viên năm 1 trở xuống), còn những bạn đã sắp tốt nghiệp đại học, và đặc biệt là những người có ý định học tiếp về Toán sau này, thì đó là 1 sự lãng phí thời gian đáng kể.

Tôi hi vọng các bạn nếu có thời gian, nên quan tâm đến những bài Toán "thực sự" hơn. Để khởi động, tôi xin mở 1 "seminar" nhỏ ở đây (tất nhiên, trên 1 diễn đàn thì không nên làm cái gì quá serious), trong đó hi vọng sẽ giúp các bạn đọc hiểu 1 bài báo của Terence Tao và giới thiệu về 1 số bài toán liên quan. Các bạn hoàn toàn theo dõi được nếu có kiến thức cơ bản về Lý thuyết độ đo và Giải tích hàm.

Năm 1917, Kakeya nêu ra bài toán "cây kim":
"Kakeya needle problem": what is the minimum area of a region D in the plane, in which a needle can be turned through 360° continuously.

Năm 1928, Besicovitch trả lời câu hỏi này bằng 1 kết quả hết sức kinh ngạc: miền D có thể chọn có độ đo nhỏ tùy ý (mà vẫn cho phép quay 1 cây kim độ dài 1 đủ 1 vòng 360° một cách liên tục). Hơn thế, ông chứng minh là nếu bỏ đi điều kiện "phải quay liên tục" thì tập D có thể chọn để có độ đo 0. Nói cách khác, ông chỉ ra sự tồn tại của 1 tập Besicovitch trong mặt phẳng, tức là các tập compact, có độ đo 0, nhưng chứa một đoạn thẳng độ dài đơn vị theo mọi hướng.

Kết quả này mở đầu cho 1 họ các "Kakeya conjecture" mà hiện nay vẫn đang là bài toán mở thu hút một số nhà Toán học hàng đầu. Một trong những giả thuyết đó là: một tập Besicovitch trong $\displaystyle R^n$ phải có độ đo Hausdorff và độ đo Minkowski bằng n (mặc dù độ đo Lebesgue của nó có thể bằng 0). Các bạn có thể xem thêm một số (thật ra là rất nhiều) thông tin ở đây
http://www.math.u...akeya.html

Có lẽ thích hợp với chúng ta ở đây là tìm hiểu xem một tập Besicovitch có thể xây dựng như thế nào. Một trong những cách xây dựng truyền thống là dựa vào Peron's tree, các bạn có thể xem phác thảo ở đây
http://en.wikiped...Kakeya_set
Năm 2003, Korner giới thiệu một cách xây dựng mới cho các tập Besicovitch, rất đẹp, và chỉ ra rằng: có rất nhiều tập Besicovitch như vậy ("rất nhiều" theo 1 nghĩa mà ta sẽ tìm hiểu sau). Trong topic này hi vọng chúng ta sẽ thảo luận một số chi tiết trong cách xây dựng của Korner. Vì bài báo gốc của ông khá dài, chúng ta sẽ theo một chứng minh được viết lại bởi Terence Tao (có phần sáng sủa hơn).
hoadai đính kèm tệp sao:
korner_construction_of_a_besicovitch_set.pdf
Sửa bởi hoadai vào lúc 11-06-2009 22:55
 
hoadai
Trong tuần đầu tiên chúng ta sẽ đọc trang đầu tiên của bài báo.

Định nghĩa: [Essential range] Cho hàm số $\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb{R}$ đo được. Ta định nghĩa essential range là tập hợp các điểm y sao cho tập hợp $\displaystyle f^{-1}((y-\epsilon,y+\epsilon))$ có độ đo $\displaystyle >0$ với mọi $\displaystyle \epsilon>0$.

Có thể thấy rằng vì f đo được nên các tập $\displaystyle f^{-1}((y-\epsilon,y+\epsilon))$ đều đo được. Ngoài ra, hi vọng các bạn có thể tự kiểm tra rằng: $\displaystyle R(f)$ đóng, và không thay đổi nếu ta thay đổi $\displaystyle f$ trên 1 tập có độ đo 0. Hơn nữa $\displaystyle f\in L^\infty([0, 1])$ nếu và chỉ nếu $\displaystyle R(f)$ bị chặn.

Chúng ta sẽ thảo luận chi tiết 2 khẳng định sau (đây là các bài tập tương đối khó, nhưng rất thú vị, nhất là câu 1):

Bài tập 1. $\displaystyle f(x) \in R(f)$ với hầu hết $\displaystyle x\in [0,1]$.

Bài tập 2. Nếu $\displaystyle g\in L^\infty([0,1])$ thì
$\displaystyle R(f + g) \subset R(f) + [-||g||_\infty, ||g||_\infty].$

Sửa bởi hoadai vào lúc 07-06-2009 14:23
 
Calderon
Viết má»™t tí hưởng ứng bạn hoadai cái nhể.

Theo tôi hiểu thì ý nghĩa của bài toán cây kim có motivated theo hướng nảy sinh các bài toán lý thú và nhiều trong số chúng chưa có câu trả lời trong Giải tích Fourier cổ điển. Đầu tiên là việc xuất hiện các tập kì quái Nikodym năm 1927, khi ông này xây dựng ra các tập dầy có phần bủ rất mỏng: Một tập con của hình vuông đơn vị trong mp được gọi là tập Nikodym nếu như nó có độ đo là 1 (full luôn) nhưng với mỗi điểm x của N luôn tồn tại một đường thẳng cắt N tại đúng điểm x duy nhất. Không lâu sau đó Zygmund từ đó đã nhận ra rằng cơ sở biến thực các hình chữ nhật của mặt phẳng là rất tồi khi thậm chí các hàm đặc trưng của các tập đo được cũng không thể đạo hàm bởi cơ sở các hình chữ nhật.

Bài toán cây kim do một người Nhật tên là Kakeya trước đó 10 năm như bạn hoadai đã viết. Trên thực tế vào năm 1918, Besicovitch không có ý định giải bài toán Kakeya mà định giải bài toán liên quan đến tích phân Riemann: Nếu f là một hàm khả tích Riemann trong mặt phẳng thì có thể quay được hệ thống trục tọa độ đến hệ tọa độ mới hay không để ta nhận được kết quả là với mỗi x thì $\displaystyle f(.,y)$ khả tích R và với mỗi y thì $\displaystyle \int f(x,.)dx$ cũng khả tích R. Để làm điều này Besicovitch đề xuất ra 1 loại tập "rất rất" mỏng (gọi là tập Besicovitch như bạn hoadai giải thích ở trên). Từ đó bài toán trên có câu trả lời là phủ định: tồn tại một hàm f mà không thể làm như trên được.

Đến năm 1928 thì người ta nhận ra rằng tập Besicovitch cũng cho ta lời giải của bài toán cây kim, infimum của các diện tích có thể bằng zero.

Để xây dựng các tập B, cách truyền thống là dựa trên cây Perron như Rademacher đã làm. Bổ đề của C. Fefferman (Field medal) nhằm giải quyết bài toán Multiplier cho hình cầu. Những tập mỏng như tập Besicovitch có ảnh hưởng rất lớn đến cấu trúc hình học của hệ cơ sở tất cả các hình chữ nhật.

Câu hỏi tự nhiên trong không gian nhiều chiều hoặc trên các trường rời rạc địa phương. Ví dụ như nghiên cứu tính mỏng với câu hỏi độ đo Hausdorff của nó là bao nhiêu. Trong n=1,2 thì người ta thấy nó bằng n, còn với trường hợp tổng quát thì chưa biết...
Sửa bởi Calderon vào lúc 07-06-2009 16:23
 
namdung
Hay quá, diá»…n đàn mình ngày càng nghiêm túc. Có thêm hoadai và Calderon nữa thì quá vui rồi. Hy vọng là sẽ có thêm nhiều bài viết hay nhÆ° thế nữa. Tuy nhiên, nâng cao dân trí cÅ©ng cần làm từ từ. Phải bắt đầu từ những cái cÆ¡ bản và quan trọng nhất là phải làm cho các bạn SV, HS thích. Thích rồi thì everything 's OK.
Ksipizeta
 
luan_dragon93
bài toán cây kim em được biết qua toán học tap trí tóa học tuổi trẻ nhÆ°ng chỉ là giá»›i thiệu chung chung thôi
vả lại em không hiểu được toán học cao siêu này đâu mới lớp 10 khi nào đủ trình em sẽ tham gia nhiệt tình
chúc anh (hay thầy em ko bết) thành công với ý định nàyFrown
mãi mãi và chỉ một
 
luandragon93
Chuyển đến chuyên mục:
Bài viết Blog
Vnkvant
» An epsilon of room
luongdinhgiap
» Đêm suy tÆ...
Vnkvant
» Vai trò cá»...
hoadai
» ISI Impact factor...
betadict
» George Box vaÌ...
gshopf
» Vé số d...
fuzzy2015
» Toán hay là...
Vnkvant
» Ai là tiế...
umf
» Mục Ä‘Ã...
mathexy
» Dá»± Ä‘oÃ...
Search E-books
Bạn có thể tìm kiếm và tải về trực tiếp với hơn 1.5 triệu đầu sách điện tử bằng cách nhập từ khóa ở ô tìm kiếm bên dưới. Để yêu cầu tài các liệu khác, bạn phải đăng nhập với tài khoản của diễn đàn và vào đây


Facebook

Bạn có thể theo dõi tin tức từ Cộng đồng MathVn trên Facebook bằng cách Like hoặc nhấp vào biểu tượng bên dưới

Shoutbox
You must login to post a message.

10/06/2016
Grin

10/06/2016
để mình hỏi mấy người bạn chụp giúp xem. Trên mạng có một số mới nhưng số 2 của 2016 thì chưa

10/06/2016
Cùng dịch tạp chí kvant, nhưng em muốn xem các số mới nhất. Ai có thể share các số 2015-2016

08/05/2016
các anh chi nào có đề thi cao học viện toán đợt 1 năm 2016 k ạ?

03/05/2016
http://kvant.mccme
.ru/ Trang này có các số từ 2014 trở về trước. Grin

22/04/2016
Không biết ai có bản gốc số mới nhỉ Grin

22/04/2016
Các anh có thể dịch thêm Đề ra kì này của Kvant được không ạ?Em thấy chuyên mục đó có nhiều bài hay ạ. Smile

22/04/2016
Ok! Hi vọng sớm vận động đc anh em, có thể dịch thêm một số bài viết hay

22/04/2016
Thế thì tuyệt quá ạ. Smile

21/04/2016
Có ai muốn khởi động việc dịch tạp chí kvant lại ko nhỉ?

13/04/2016
Angry

12/04/2016
ai có đề olympic năm nay post lên nhé Grin

08/04/2016
Diễn đàn toán học thì có lâu rồi. Chỉ tiếc là bây giờ nó lung tung quá, nản.

08/04/2016
mọi người biết diễn đàn này chưa diendantoanhoc.net

28/03/2016
chúc mọi người có kỳ nghỉ Easter vui vẻ Grin

24/03/2016
trang này thú vị thật, mình đọc bài toán sandwich suy nghĩ một lúc rồi xem lời giải bằng hình ảnh hóa ra là đơn giản thật, quá thú vị Smile

24/03/2016
Hình như có giới hạn cho số kí tự ở shoutbox. Mình vửa gửi lại.

24/03/2016

24/03/2016
Không vào được prime ơi, bỏ vào thẻ [url] thử.

24/03/2016
Tình cờ vào trang web này. Xem thử video về khái niệm liên tục (đặc biệt là bài toán sandwich) thấy rất thú vị. Mọi người thử xem.

Render time: 0.09 seconds 2,879,947 lượt ghé thăm