18. November 2017 17:08
Các trang chính
· Trang Nhất
· Diá»…n đàn
· Tạp Chí MathVn
· Bản dịch Kvant
· Blogs
· FAQ
· Liên hệ
· Tìm kiếm
· Liên kết

· ThÆ° viện
Đăng nhập
Tên tài khoản

Mật khẩu



Có phải bạn chưa là thành viên của cộng đồng MathVn?
Nhấp vào đây để đăng ký.

Có phải bạn quên mật khẩu?
Yêu cầu mật khẩu mới ở đây.
Search Articles
Bạn có thể tìm kiếm và tải về trực tiếp các bài báo khoa học bằng cách nhập DOI ở ô tìm kiếm bên dưới. DOI có thể tìm thấy ngay trong trang xuất bản online của bài báo mà bạn muốn tải. Bạn có thể nhập DOI thí dụ sau: 10.1007/BF01192073



Wolfram Alpha
Tính toán trực tuyến với Wolfram Alpha bằng cách nhập từ khóa vào bên dưới


Donation
Cộng đồng MathVn hoạt động với mục đích phi lợi nhuận, tuy nhiên chúng tôi rất cần sự trợ giúp tài chính đề duy trì sự hoạt động của website cũng như ra mắt các ấn bản miễn phí, tổ chức các hoạt động offline... Mọi sự đóng góp dù nhỏ đều là quý báu và chúng tôi chân thành ghi nhận điều đó.



Wikipedia
Bạn có thể tra cứu các thuật ngữ Toán học qua Wikipedia bằng cách nhập từ khóa vào bên dưới



RSS Feeds
Subscribe to our Feeds

Latest Downloads
Latest News
Latest Articles
Latest Threads
Latest Weblinks

Validated Feeds

Trực tuyến
LONGbhkn09:41:38
Vnkvant17:40:38
giangpna98 1 week
pvan1611 1 week
kqh26 1 week
angrypig298 2 weeks
legendarthas 3 weeks
tranthienchuong 3 weeks
Thành viên trực tuyến
· Khách trực tuyến: 2

· Thành viên trực tuyến: 0

· Tổng số thành viên: 2,538
· Thành viên mới nhất: nmhuy942
Bản dịch Kvant
· Đề ra kì này Số 04-2008
· Đề ra kì này Số 06-2006
· Đề ra kì này Số 05-2006
· Đề ra kì này Số 04-2006
· Đề ra kì này Số 03-2006
· Đê ra kì này Số 02-2006
· Đề ra kì này Số 01-2006
· Đề ra kì này Số 06-2002
· Đề ra kì này Số 04-2002
· Đề ra kì này Số 06-2001
Chủ đề diễn đàn
Chủ đề mới nhất
· Đại số...
· Bá»™ sách cá...
· Nhóm xyclic
· Điểm bấ...
· Tính giá»›i h...
· Bất đẳ...
· Korner's constructio...
· An inequality collec...
· Vài bài vá»...
· PhÆ°Æ¡ng trìn...
· L.C.Evans - PDE
· Olympic Sinh viên...
· Olympiad SV МФ...
· Generalization of so...
· Tặng daogiauvan...
· Mùa hè nóng...
· Collected inequality...
· Olympic SV Kiev
· Bất đẳ...
· Tài khoản MA...
· Bài tập vá...
· Chú ý: THÁN...
· Số Pi và nh...
· Chuyển công ...
· Ôn tập mÃ...
· Đăng ký tha...
· PhÆ°Æ¡ng pháp...
· Olympic Sinh viên...
· Olimpiad Toán Ä...
· Problem Of The Month I.
Chủ đề nóng nhất
· Nhờ download... [333]
· Vài bài tá... [85]
· Những Ä‘... [83]
· Problem Of The Mo... [76]
· BV Functions In O... [51]
· Đề thi tu... [47]
· Thông tin vÃ... [40]
· L.C.Evans - PDE [38]
· Các bạn t... [38]
· Problems of Purdu... [36]
· Problem of Washin... [36]
· Ôn tập m... [34]
· Olympic Sinh viÃ... [34]
· Olympic SV Kiev [33]
· Olympic Toán S... [33]
· PT vi phân [32]
· Ôn tập m... [31]
· Tính giá»›... [30]
· Call for papers-K... [30]
· Đóng góp... [30]
· Mùa hè nÃ... [28]
· Tuyển táº... [28]
· Cập nhậ... [28]
· Korner's construc... [27]
· Đăng ký ... [26]
· Nhờ download... [26]
· An inequality col... [25]
· Generalization of... [25]
· PhÆ°Æ¡ng phÃ... [25]
· Bất Ä‘á... [24]
· Má»™t câu ... [24]
· Tìm nghiá»... [24]
· Tích phân hay [23]
· Bài tập v... [22]
· Kì Thi Olympic... [22]
· Olimpiad Toán ... [21]
· Mathematics Magazine [21]
· PhÆ°Æ¡ng trÃ... [21]
· PhÆ°Æ¡ng trÃ... [20]
· Collected inequal... [20]
· Chuyển cô... [20]
· College Mathemati... [20]
· Olympic Sinh viÃ... [19]
· Tặng daogiau... [19]
· Tài khoản... [19]
· Chú ý: THÃ... [19]
· Số Pi và... [19]
· Phép biến... [19]
· Journal Ма... [19]
· The Qualifying Ex... [19]
Xem chủ đề
Cá»™ng Đồng MathVn » For Advanced Undergraduate and Graduate Students » Thảo luận
L.C.Evans - PDE
brahman
Xin chào các đồng đạo,

Nhân dịp hè đến, được chút rảnh rỗi, brahman mạo muội dọn lên đây một số BT trong sách của L.C.Evan (PDE) mà chủ quan cho là thiết thực và nhẹ nhàng, nhằm để học tập và trao đổi kiến thức về PDE. Chủ trương của người post là cầu tiến và không dấu dốt. Hy vọng là mọi người tìm thấy cái thú và bổ sung thêm những BT khác thú hơn Grin

Chúng mình bắt đầu từ Chapter 2, trong đây $\displaystyle u$ là hàm đủ trơn xác định trên tập con của $\displaystyle \mathbb{R}^n$. Trước mắt brahman chỉ dọn lên 3 bài này:

2/85: Prove that Laplace's equation $\displaystyle \Delta u = 0$ is rotation invariant; that is, if $\displaystyle O$ is an orthogonal $\displaystyle n \times n$ matrix and we define
$\displaystyle v (x) = u ( Ox )$

then $\displaystyle \Delta v = 0$.

5/86: Prove that there exists a constant $\displaystyle C$, depending only on $\displaystyle n$, such that
$\displaystyle \underset{B(0,1)}{\text{max}} |u| \le C \left( \underset{ \partial B(0,1)}{\text{max}} |g| + \underset{B(0,1)}{\text{max}} |f| \right) $

whenever $\displaystyle u$ is smooth solution of

$\displaystyle \begin{align} - \Delta u = f & \;\;\; \text{in } B_0(0,1) \\ u = g & \;\;\; \text{on } \partial B(0,1) \end{align}$


7/86: Assume $\displaystyle g \in C^{ \infty} ( \partial B(0,r))$ and

$\displaystyle u (x) = \frac{ r^2 - |x|^2 }{ n \alpha (n) r} \int_{ \partial B(0,r)} \frac{ g(y)}{ | x - y| ^n } \text{d} S(y) \;\; ( x \in B_0( 0,r)) $


then

$\displaystyle \begin{align} i) & \; u \in C^{\infty} ( B_0(0,r) ) \nonumber \\ ii) & \; \Delta u = 0 \text{ in } B_0 (0,r) \nonumber \\ iii) & \; \lim\limits_{ B_0(0,r)\ni x \to x_0 } u(x) = g(x_0) \;\; , \; \forall x_0 \in \partial B(0,r) \nonumber \end{align}$


Đầu tiên chúng mình chỉ cm cho th $\displaystyle n=2,3$. À quên, cái ông Evan này chơi kì lắm nhá, tìm mãi trong ấy mà chả thấy đn $\displaystyle \alpha(n)$, nó nè:

$\displaystyle \alpha (n) = \left\lbrace\begin{matrix} \frac{ \pi ^{n/2}}{ (n/2) !} & \text{if} & \text{n chan}\\ \frac{ 2 ( 2\pi ) ^{ ( n-1)/2}}{ 1 .3.5 \ldots n } & \text{if} & \text{n le}\end{matrix}\right.$


à Vinh ơi, môi trường array trong này sao chán quá, không xài được.
Sửa bởi Vnkvant vào lúc 26-03-2016 19:40
tat tvam asi
 
vualangbat
chào anh brahman, rất vui vì anh lại trở lại cùng tham gia cho vui, vấn đề về cái dòng array thì chắc do cái trang codecogs nó có vấn đề.
Về ý tưởng giải cuốn bài tập của Evans và phân tích nó thì tuyệt vời, cuốn này thì thuộc top với nhiều bài tập hay, tuy nhiên như anh brahman chúng ta ai cũng mang tính giao lưu học hỏi, cùng đọc sách để hiểu và vận dụng, có người biết nhiều biết ít chia sẻ cho nhau không nên nghĩ lung tung đến các vấn đề khác. Hi vọng nhiều anh chị thầy cô sẽ cùng hưởng ứng

Mở đầu anh brahman đã ra ba bài khá thú vị, bản thân cũng chỉ mới học có tí chút về PDE nên không biết nhiều lắm nhưng góp vui vài nhận xét và lời giải

Câu 7/86. Bài này thì ta biết rồi nó là bài toán Dirichlet Problem on a Ball, cách chứng minh của bài này giống với định lí số 14(trang 38) của sách Evans, tuy nhiên cũng muốn nêu ra một số ý
với ý đầu thì ta thấy rõ rồi vì ta có thể đạo hàm được cái công thức tích phân đó thoải mái, để chứng minh ý hai ta chú ý
$\displaystyle K(x,y) = \frac{{r^2 - \left| x \right|^2 }}{{n\alpha (n)r}}\frac{1}{{\left| {x - y} \right|^n }}$ là nhân Poisson.
và $\displaystyle \psi (x) = \int\limits_{\partial B} {K(x,y)dS_y } $(thu được bằng cách thay vào công thức Poisson với $\displaystyle g=1$), ta có $\displaystyle \psi (x)$ là radially symmetric function. Từ đây ta chú ý chút và thấy $\displaystyle \psi (x) = \psi (0) = 1$
Từ đó ta có
$\displaystyle \Delta u(x) = \int\limits_{\partial B} {\Delta _x K(x,y)g(y)dS_y } = 0$
Ý còn lại xét $\displaystyle x_0 \in \partial B$ và $\displaystyle \varepsilon > 0$. Chọn $\displaystyle \delta > 0$ sao cho $\displaystyle \left| {g(y) - g(x_0 )} \right| < \varepsilon $ với $\displaystyle \left| {y - x_0 } \right| < \delta $ và ta gọi $\displaystyle M = \mathop {\sup }\limits_{x \in \partial B} g$
khi đó ta có
$\displaystyle \left| {u(x) - g(x_0 )} \right| = \left| {\int\limits_{\partial B} {K(x,y)\left( {g(y) - g(x_0 )} \right)dS_y } } \right|$
$\displaystyle \le \int\limits_{\left| {y - x_0 } \right| \le \delta } {K(x,y)} \left| {\left( {g(y) - g(x_0 )} \right)} \right|dS_y + \int\limits_{\left| {y - x_0 } \right| \ge \delta } {K(x,y)} \left| {\left( {g(y) - g(x_0 )} \right)} \right|dS_y $
$\displaystyle \le \varepsilon + \frac{{2M\left( {r^2 - \left| x \right|^2 } \right)r^{n - 2} }}{{\left( {\delta /2} \right)^n }}$
Khi $\displaystyle x \to x_0 $ thì $\displaystyle \frac{{2M\left( {r^2 - \left| x \right|^2 } \right)r^{n - 2} }}{{\left( {\delta /2} \right)^n }} \to 0$ nên ta có c.minh

Câu 2/85. Bài này là một tính chất hay
Ta có giả sử
$\displaystyle O = \left[ {O_{ij} } \right]_{n \times n} $
$\displaystyle D_i v(x) = \sum\limits_{k = 1}^n {D_k u(Ox)O_{ki} } $
$\displaystyle D_{ij} v(x) = \sum\limits_{l = 1}^n {\sum\limits_{k = 1}^n {D_{kl} u(Ox)O_{ki} O_{lj} } } $

Do $\displaystyle O$ là orthogonal nên $\displaystyle \ O O^T = I$(ma trận đơn vị)
Từ đó ta có
$\displaystyle \Delta v(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{l = 1}^n {\sum\limits_{k = 1}^n {D_{kl} u(Ox)O_{ki} O_{li} } } } = \sum\limits_{l = 1}^n {\sum\limits_{k = 1}^n {D_{kl} u(Ox)\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {O_{ki} O_{li} } } \right)} } $
$\displaystyle = \sum\limits_{l = 1}^n {\sum\limits_{k = 1}^n {D_{kl} u(Ox)\delta _{kl} } } = \Delta u\left( {Ox} \right) = 0$
Trong đó $\displaystyle \delta _{kl}$ là kí hiệu Kronecker.
Sửa bởi Vnkvant vào lúc 30-03-2016 20:34
 
brahman
Cảm Æ¡n Vua, hy vọng chúng ta còn tìm thấy nhiều Ä‘iều hấp dẫn từ topic này.

brahman muốn nói thêm một chút nhận xét của mình về bài 7/86. Đây là một sự kết hợp đầy đủ của DEFINITION trang 40. Ta tóm tắt lại như sau. Bằng cách chỉ ra được hàm Green cho bt
$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} - \Delta u = f & \;\;\; \text{in } B_0(0,r) \\ u = g & \;\;\; \text{on } \partial B(0,r) \end{matrix} \right.$

chính là:
$\displaystyle G(x,y) = \Phi ( y - x ) - \Phi \left( |x| \left( \frac{y}{r} - \frac{ rx }{ |x|^2 } \right) \right) $

chúng ta có thể ktr lại các tính chất đặt trưng:
$\displaystyle \forall x \in B( 0,r) \; , \; \left\{ \begin{matrix} - \Delta _y G( x , y ) & = & \delta ( x - y ) & \text{if}& y \in B(0,r ) \\ G( x , y ) & = & 0 & \text{if}& y \in \partial B(0,r) \end{matrix} \right.$

trong đó $\displaystyle \delta$ là phân bố Dirac, còn $\displaystyle \Phi$ là nghiệm cơ bản trên toàn $\displaystyle \mathbb{R}^n$ của pt Laplace, nó là:
$\displaystyle \Phi ( x - y ) = \left\{ \begin{matrix} - \frac{1}{ 2 \pi } \ln | x - y| & , & n = 2 \\ \frac{1}{ n (n-2) \alpha (n) } \frac{1}{ | x-y|^{n-2}} & , & n \ge 3 \end{matrix}\right.$

Chúng mình dùng CT Green thứ 2 để xem xét nghiệm của bài toán
$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} \Delta u = 0 & \;\;\; \text{in } B_0(0,r) \\ u = g & \;\;\; \text{on } \partial B(0,r) \end{matrix} \right.$

Rằng, nếu nghiệm tồn tại và đủ trơn thì nó sẽ ở dưới dạng
$\displaystyle \begin{align}u (x) & = - \int_{\partial B( 0,r)} g (y) \frac{\partial G }{ \partial n }(x,y) \text{d} S(y) \nonumber\\ &= \frac{ r^2 - |x|^2 }{ n \alpha (n) r} \int_{ \partial B(0,r)} \frac{ g(y)}{ | x - y| ^n } \text{d} S(y) \;\; , \; \forall x \in B_0( 0,r) \end{align}$

THEOREM 15 thì khẳng định chiều ngược lại: nếu $\displaystyle u$ xác định bởi $\displaystyle (1)$ thì nó sẽ đủ trơn và là nghiệm của bt trên.

Cuối cùng, bài tập 5/86 nói rằng bt trên không còn nghiệm nào khác ngoài nó ! Tức là nếu $\displaystyle u_1 ,u_2$ là hai nghiệm của bt thì $\displaystyle u_1 - u_2$ là nghiệm bài toán:
$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} \Delta u = 0 & \;\;\; \text{in } B_0(0,r) \\ u = 0 & \;\;\; \text{on } \partial B(0,r) \end{matrix} \right.$

dùng oánh giá bt 5/86 chúng ta có $\displaystyle u_1 - u_2 = 0$.

Ta có thể cm 5/86 như sau. Nếu $\displaystyle u$ là nghiệm bài toán
$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} \Delta u = f & \;\;\; \text{in } B_0(0,r) \\ u = g & \;\;\; \text{on } \partial B(0,r) \end{matrix} \right.$

thì dùng CT Green 2 (dưới sự phù hộ của các ĐL hội tụ tích phân) chúng ta viết nghiệm dưới dạng
$\displaystyle u(x) = \int_{B(0,r)} f(y) G(x,y) \text{d} y - \int_{\partial B( 0,r)} g (y) \frac{\partial G }{ \partial n } (x,y) \, \text{d} S(y) $

Từ đây, dùng BĐT tam giác và các đánh giá dưới tp, chúng ta có đpcm của BT 5/86

Nếu có đồng đạo nào chứng minh 5/86 cho trường hợp ta thay thế $\displaystyle B(0,1)$bằng $\displaystyle \Omega $ bị chặn bất kỳ thì thật tuyệt ! Smile

Trong thời gian chờ reply của mọi người, brahman tạm lái sang chủ đề hàm Green cho pt nhiệt. Đây là một bài brahman rất thích:

11/87: Assume $\displaystyle n=1$ and $\displaystyle u( x,t) = v \left( \frac{x^2}{t} \right)$
a) show
$\displaystyle u_t = u_{xx} \;\; \Leftrightarrow \;\; (*) \, : \, 4z v''(z) + (2+z) v'(z) =0 \; , \, \forall z > 0$

b) show that the general solution of (*) is
$\displaystyle v (z) = c \int_{0}^z \text{e} ^{ -s/4} s^{ -1/2} \text{d} s + d $

c) Differentiate $\displaystyle v( x^2 / t )$ with respect to $\displaystyle x$ and select the constant $\displaystyle c$ properly, so as to obtain the fundamental solution $\displaystyle \Phi$ for $\displaystyle n=1$.
Sửa bởi brahman vào lúc 03-07-2009 01:09
tat tvam asi
 
vualangbat
Cám Æ¡n anh brahman đã nói khá kÄ© về cái mệnh đề tÆ°Æ¡ng Ä‘Æ°Æ¡ng này, nói chung từ công thức Green chúng ta có má»™t chút biến đổi sẽ thu được công thức Poisson mà chúng ta làm ở trên. Hôm nay chờ bạn nào đó có câu trả lời cho bài trên của anh brahman vì bài này khá nhẹ nhàng, có câu 1 là có biến đổi chút nhÆ°ng cÅ©ng khá Ä‘Æ¡n giản, câu hai thì chắc ai cÅ©ng giải được từ ok mà cái nghiệm này đôi lúc ta cÅ©ng hay biết được viết dÆ°á»›i dạng $\displaystyle 2\sqrt \pi cErf\left[ {\frac{{\sqrt z }}{2}} \right] + d$ trong đó cái Erf là cái error function. Ý cuối thì ko còn gì.

Thêm một số bài từ chương 2, hi vọng chúng ta cùng tham gia giải quyết nhanh gọn để chuyển qua đọc chương khác.

Bài 4/86. Chúng ta nói $\displaystyle v \in C^2 \left( {\overline U } \right)$ là subharmonic nếu
$\displaystyle - \Delta v \le 0$ trong $\displaystyle U$

(a) Chứng minh với $\displaystyle v$ là subharmonic thì
$\displaystyle v(x) \le \int\limits_{B(x,r)} {vdy} $ với mọi $\displaystyle B(x,r) \subset U$

(b)Chứng minh
$\displaystyle \max _{\overline U } v = \max _{\partial \overline U } v$

(c) Cho $\displaystyle \phi :R \to R$ là smooth và convex. Giả sử $\displaystyle u$ là harmonic và $\displaystyle v = \phi (u)$. Chứng minh $\displaystyle v$ là subharmonic.
(c) Chứng minh $\displaystyle v: = \left| {Du} \right|^2 $ là subharmonic khi $\displaystyle u$ là harmonic.
Bài 8/86. Cho $\displaystyle u$ là nghiệm của phương trình
$\displaystyle \Delta u = 0$ trong $\displaystyle R_ + ^n $ và $\displaystyle u = g$ trên $\displaystyle \partial R_ + ^n $

Cho bởi Poisson's formula for the half-space. Giả sử $\displaystyle g$ bị chặn và $\displaystyle g(x) = \left| x \right|$ với $\displaystyle x \in \partial R_ + ^n ,\left| x \right| \le 1$. Chứng minh $\displaystyle Du$ không bị chặn trong lân cận $\displaystyle x=0$.

Còn thêm một số bài 9,10,13,14,18 cần giải nữa. Gõ đề dài quá lần sau gõ tiếp không nhờ anh brahman gõ lên luôn.
Sửa bởi vualangbat vào lúc 05-07-2009 04:48
 
vualangbat
Để tiện cho các bạn theo dõi mình sẽ có má»™t số gợi ý cho lời giải các bài toán trên

Bài 4/86.
(a). Câu này khá đơn giản
(b). Sử dụng maximum principle
(c).Sử dụng tính điều hòa của hàm $\displaystyle u$ và tính lồi của $\displaystyle \phi $
(d). Sử dụng câu (c).
Bài 8/86.
Bài này khá khó ta có thể dùng công thức tích phân Poisson

Bài số 10/87 cũng là một tính chất khá hay của phương trình nhiệt.
Hi vọng mọi người tham gia cho vui.
 
Chuyển đến chuyên mục:
Bài viết Blog
Vnkvant
» An epsilon of room
luongdinhgiap
» Đêm suy tÆ...
Vnkvant
» Vai trò cá»...
hoadai
» ISI Impact factor...
betadict
» George Box vaÌ...
gshopf
» Vé số d...
fuzzy2015
» Toán hay là...
Vnkvant
» Ai là tiế...
umf
» Mục Ä‘Ã...
mathexy
» Dá»± Ä‘oÃ...
Search E-books
Bạn có thể tìm kiếm và tải về trực tiếp với hơn 1.5 triệu đầu sách điện tử bằng cách nhập từ khóa ở ô tìm kiếm bên dưới. Để yêu cầu tài các liệu khác, bạn phải đăng nhập với tài khoản của diễn đàn và vào đây


Facebook

Bạn có thể theo dõi tin tức từ Cộng đồng MathVn trên Facebook bằng cách Like hoặc nhấp vào biểu tượng bên dưới

Shoutbox
You must login to post a message.

10/06/2016
Grin

10/06/2016
để mình hỏi mấy người bạn chụp giúp xem. Trên mạng có một số mới nhưng số 2 của 2016 thì chưa

10/06/2016
Cùng dịch tạp chí kvant, nhưng em muốn xem các số mới nhất. Ai có thể share các số 2015-2016

08/05/2016
các anh chi nào có đề thi cao học viện toán đợt 1 năm 2016 k ạ?

03/05/2016
http://kvant.mccme
.ru/ Trang này có các số từ 2014 trở về trước. Grin

22/04/2016
Không biết ai có bản gốc số mới nhỉ Grin

22/04/2016
Các anh có thể dịch thêm Đề ra kì này của Kvant được không ạ?Em thấy chuyên mục đó có nhiều bài hay ạ. Smile

22/04/2016
Ok! Hi vọng sớm vận động đc anh em, có thể dịch thêm một số bài viết hay

22/04/2016
Thế thì tuyệt quá ạ. Smile

21/04/2016
Có ai muốn khởi động việc dịch tạp chí kvant lại ko nhỉ?

13/04/2016
Angry

12/04/2016
ai có đề olympic năm nay post lên nhé Grin

08/04/2016
Diễn đàn toán học thì có lâu rồi. Chỉ tiếc là bây giờ nó lung tung quá, nản.

08/04/2016
mọi người biết diễn đàn này chưa diendantoanhoc.net

28/03/2016
chúc mọi người có kỳ nghỉ Easter vui vẻ Grin

24/03/2016
trang này thú vị thật, mình đọc bài toán sandwich suy nghĩ một lúc rồi xem lời giải bằng hình ảnh hóa ra là đơn giản thật, quá thú vị Smile

24/03/2016
Hình như có giới hạn cho số kí tự ở shoutbox. Mình vửa gửi lại.

24/03/2016

24/03/2016
Không vào được prime ơi, bỏ vào thẻ [url] thử.

24/03/2016
Tình cờ vào trang web này. Xem thử video về khái niệm liên tục (đặc biệt là bài toán sandwich) thấy rất thú vị. Mọi người thử xem.

Render time: 0.10 seconds 2,879,567 lượt ghé thăm