20. January 2018 03:11
Các trang chính
· Trang Nhất
· Diễn đàn
· Tạp Chí MathVn
· Bản dịch Kvant
· Blogs
· FAQ
· Liên hệ
· Tìm kiếm
· Liên kết

· Thư viện
Đăng nhập
Tên tài khoản

Mật khẩu



Có phải bạn chưa là thành viên của cộng đồng MathVn?
Nhấp vào đây để đăng ký.

Có phải bạn quên mật khẩu?
Yêu cầu mật khẩu mới ở đây.
Search Articles
Bạn có thể tìm kiếm và tải về trực tiếp các bài báo khoa học bằng cách nhập DOI ở ô tìm kiếm bên dưới. DOI có thể tìm thấy ngay trong trang xuất bản online của bài báo mà bạn muốn tải. Bạn có thể nhập DOI thí dụ sau: 10.1007/BF01192073



Wolfram Alpha
Tính toán trực tuyến với Wolfram Alpha bằng cách nhập từ khóa vào bên dưới


Donation
Cộng đồng MathVn hoạt động với mục đích phi lợi nhuận, tuy nhiên chúng tôi rất cần sự trợ giúp tài chính đề duy trì sự hoạt động của website cũng như ra mắt các ấn bản miễn phí, tổ chức các hoạt động offline... Mọi sự đóng góp dù nhỏ đều là quý báu và chúng tôi chân thành ghi nhận điều đó.



Wikipedia
Bạn có thể tra cứu các thuật ngữ Toán học qua Wikipedia bằng cách nhập từ khóa vào bên dưới



RSS Feeds
Subscribe to our Feeds

Latest Downloads
Latest News
Latest Articles
Latest Threads
Latest Weblinks

Validated Feeds

Trực tuyến
Vnkvant01:17:46
chuong498919:28:29
betadict22:58:25
fuzzy201523:04:05
alger275 1 day
alpha457 1 day
variety 1 day
lazycat 1 day
Thành viên trực tuyến
· Khách trực tuyến: 1

· Thành viên trực tuyến: 0

· Tổng số thành viên: 2,551
· Thành viên mới nhất: hoanglylc1996
Bản dịch Kvant
· Đề ra kì này Số 04-2008
· Đề ra kì này Số 06-2006
· Đề ra kì này Số 05-2006
· Đề ra kì này Số 04-2006
· Đề ra kì này Số 03-2006
· Đê ra kì này Số 02-2006
· Đề ra kì này Số 01-2006
· Đề ra kì này Số 06-2002
· Đề ra kì này Số 04-2002
· Đề ra kì này Số 06-2001
Chủ đề diễn đàn
Chủ đề mới nhất
· Olympic Xác suất ...
· Vector ngẫu nhiên
· Mấy bài Ma trận
· Tính chất độc ...
· Tích phân ngẫu n...
· Olympic Toán Sinh v...
· Olympic Sinh viên B...
· Tính giới hạn
· Phương trình hàm...
· Vài bài về hàm ...
· Bất đẳng thức...
· Đại số Tuyến ...
· Bộ sách của Ngu...
· Nhóm xyclic
· Điểm bất động
· Korner's constructio...
· An inequality collec...
· L.C.Evans - PDE
· Olympiad SV МФТИ
· Generalization of so...
· Tặng daogiauvang ...
· Mùa hè nóng quá ...
· Collected inequality...
· Olympic SV Kiev
· Bất đẳng thức
· Tài khoản MAA (do...
· Bài tập về khô...
· Chú ý: THÁNG HÌN...
· Số Pi và những ...
· Chuyển công thứ...
Chủ đề nóng nhất
· Nhờ download b... [333]
· Vài bài tập c... [85]
· Những định l... [83]
· Problem Of The Mo... [76]
· BV Functions In O... [51]
· Đề thi tuyển... [47]
· Thông tin và Th... [40]
· L.C.Evans - PDE [38]
· Các bạn thi ol... [38]
· Problems of Purdu... [36]
· Problem of Washin... [36]
· Ôn tập môn Gi... [34]
· Olympic Sinh viê... [34]
· Olympic Toán Sin... [33]
· Olympic SV Kiev [33]
· PT vi phân [32]
· Ôn tập môn Đ... [31]
· Tính giới hạn [30]
· Call for papers-K... [30]
· Đóng góp cho c... [30]
· Mùa hè nóng qu... [28]
· Tuyển tập 40 ... [28]
· Cập nhật Tạ... [28]
· Korner's construc... [27]
· Đăng ký tham g... [26]
· Nhờ download b... [26]
· An inequality col... [25]
· Generalization of... [25]
· Phương pháp Mo... [25]
· Bất đẳng thức [24]
· Một câu xác s... [24]
· Tìm nghiệm c... [24]
· Tích phân hay [23]
· Bài tập về k... [22]
· Kì Thi Olympic T... [22]
· Olimpiad Toán Đ... [21]
· Mathematics Magazine [21]
· Phương trình h... [21]
· Phương trình h... [20]
· Collected inequal... [20]
· Chuyển công th... [20]
· College Mathemati... [20]
· Olympic Sinh viê... [19]
· Tặng daogiauvan... [19]
· Tài khoản MAA ... [19]
· Chú ý: THÁNG H... [19]
· Số Pi và nhữ... [19]
· Phép biến đ... [19]
· Journal Мате... [19]
· The Qualifying Ex... [19]
Xem chủ đề
Cộng Đồng MathVn » For Advanced Undergraduate and Graduate Students » Thảo luận
 In chủ đề
L.C.Evans - PDE
brahman
Xin chào các đồng đạo,

Nhân dịp hè đến, được chút rảnh rỗi, brahman mạo muội dọn lên đây một số BT trong sách của L.C.Evan (PDE) mà chủ quan cho là thiết thực và nhẹ nhàng, nhằm để học tập và trao đổi kiến thức về PDE. Chủ trương của người post là cầu tiến và không dấu dốt. Hy vọng là mọi người tìm thấy cái thú và bổ sung thêm những BT khác thú hơn Grin

Chúng mình bắt đầu từ Chapter 2, trong đây $\displaystyle u$ là hàm đủ trơn xác định trên tập con của $\displaystyle \mathbb{R}^n$. Trước mắt brahman chỉ dọn lên 3 bài này:

2/85: Prove that Laplace's equation $\displaystyle \Delta u = 0$ is rotation invariant; that is, if $\displaystyle O$ is an orthogonal $\displaystyle n \times n$ matrix and we define
$\displaystyle v (x) = u ( Ox )$

then $\displaystyle \Delta v = 0$.

5/86: Prove that there exists a constant $\displaystyle C$, depending only on $\displaystyle n$, such that
$\displaystyle \underset{B(0,1)}{\text{max}} |u| \le C \left( \underset{ \partial B(0,1)}{\text{max}} |g| + \underset{B(0,1)}{\text{max}} |f| \right) $

whenever $\displaystyle u$ is smooth solution of

$\displaystyle \begin{align} - \Delta u = f & \;\;\; \text{in } B_0(0,1) \\ u = g & \;\;\; \text{on } \partial B(0,1) \end{align}$


7/86: Assume $\displaystyle g \in C^{ \infty} ( \partial B(0,r))$ and

$\displaystyle u (x) = \frac{ r^2 - |x|^2 }{ n \alpha (n) r} \int_{ \partial B(0,r)} \frac{ g(y)}{ | x - y| ^n } \text{d} S(y) \;\; ( x \in B_0( 0,r)) $


then

$\displaystyle \begin{align} i) & \; u \in C^{\infty} ( B_0(0,r) ) \nonumber \\ ii) & \; \Delta u = 0 \text{ in } B_0 (0,r) \nonumber \\ iii) & \; \lim\limits_{ B_0(0,r)\ni x \to x_0 } u(x) = g(x_0) \;\; , \; \forall x_0 \in \partial B(0,r) \nonumber \end{align}$


Đầu tiên chúng mình chỉ cm cho th $\displaystyle n=2,3$. À quên, cái ông Evan này chơi kì lắm nhá, tìm mãi trong ấy mà chả thấy đn $\displaystyle \alpha(n)$, nó nè:

$\displaystyle \alpha (n) = \left\lbrace\begin{matrix} \frac{ \pi ^{n/2}}{ (n/2) !} & \text{if} & \text{n chan}\\ \frac{ 2 ( 2\pi ) ^{ ( n-1)/2}}{ 1 .3.5 \ldots n } & \text{if} & \text{n le}\end{matrix}\right.$


à Vinh ơi, môi trường array trong này sao chán quá, không xài được.
Sửa bởi Vnkvant lúc 27-03-2016 02:40
tat tvam asi
 
vualangbat
chào anh brahman, rất vui vì anh lại trở lại cùng tham gia cho vui, vấn đề về cái dòng array thì chắc do cái trang codecogs nó có vấn đề.
Về ý tưởng giải cuốn bài tập của Evans và phân tích nó thì tuyệt vời, cuốn này thì thuộc top với nhiều bài tập hay, tuy nhiên như anh brahman chúng ta ai cũng mang tính giao lưu học hỏi, cùng đọc sách để hiểu và vận dụng, có người biết nhiều biết ít chia sẻ cho nhau không nên nghĩ lung tung đến các vấn đề khác. Hi vọng nhiều anh chị thầy cô sẽ cùng hưởng ứng

Mở đầu anh brahman đã ra ba bài khá thú vị, bản thân cũng chỉ mới học có tí chút về PDE nên không biết nhiều lắm nhưng góp vui vài nhận xét và lời giải

Câu 7/86. Bài này thì ta biết rồi nó là bài toán Dirichlet Problem on a Ball, cách chứng minh của bài này giống với định lí số 14(trang 38) của sách Evans, tuy nhiên cũng muốn nêu ra một số ý
với ý đầu thì ta thấy rõ rồi vì ta có thể đạo hàm được cái công thức tích phân đó thoải mái, để chứng minh ý hai ta chú ý
$\displaystyle K(x,y) = \frac{{r^2 - \left| x \right|^2 }}{{n\alpha (n)r}}\frac{1}{{\left| {x - y} \right|^n }}$ là nhân Poisson.
và $\displaystyle \psi (x) = \int\limits_{\partial B} {K(x,y)dS_y } $(thu được bằng cách thay vào công thức Poisson với $\displaystyle g=1$), ta có $\displaystyle \psi (x)$ là radially symmetric function. Từ đây ta chú ý chút và thấy $\displaystyle \psi (x) = \psi (0) = 1$
Từ đó ta có
$\displaystyle \Delta u(x) = \int\limits_{\partial B} {\Delta _x K(x,y)g(y)dS_y } = 0$
Ý còn lại xét $\displaystyle x_0 \in \partial B$ và $\displaystyle \varepsilon > 0$. Chọn $\displaystyle \delta > 0$ sao cho $\displaystyle \left| {g(y) - g(x_0 )} \right| < \varepsilon $ với $\displaystyle \left| {y - x_0 } \right| < \delta $ và ta gọi $\displaystyle M = \mathop {\sup }\limits_{x \in \partial B} g$
khi đó ta có
$\displaystyle \left| {u(x) - g(x_0 )} \right| = \left| {\int\limits_{\partial B} {K(x,y)\left( {g(y) - g(x_0 )} \right)dS_y } } \right|$
$\displaystyle \le \int\limits_{\left| {y - x_0 } \right| \le \delta } {K(x,y)} \left| {\left( {g(y) - g(x_0 )} \right)} \right|dS_y + \int\limits_{\left| {y - x_0 } \right| \ge \delta } {K(x,y)} \left| {\left( {g(y) - g(x_0 )} \right)} \right|dS_y $
$\displaystyle \le \varepsilon + \frac{{2M\left( {r^2 - \left| x \right|^2 } \right)r^{n - 2} }}{{\left( {\delta /2} \right)^n }}$
Khi $\displaystyle x \to x_0 $ thì $\displaystyle \frac{{2M\left( {r^2 - \left| x \right|^2 } \right)r^{n - 2} }}{{\left( {\delta /2} \right)^n }} \to 0$ nên ta có c.minh

Câu 2/85. Bài này là một tính chất hay
Ta có giả sử
$\displaystyle O = \left[ {O_{ij} } \right]_{n \times n} $
$\displaystyle D_i v(x) = \sum\limits_{k = 1}^n {D_k u(Ox)O_{ki} } $
$\displaystyle D_{ij} v(x) = \sum\limits_{l = 1}^n {\sum\limits_{k = 1}^n {D_{kl} u(Ox)O_{ki} O_{lj} } } $

Do $\displaystyle O$ là orthogonal nên $\displaystyle \ O O^T = I$(ma trận đơn vị)
Từ đó ta có
$\displaystyle \Delta v(x) = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{l = 1}^n {\sum\limits_{k = 1}^n {D_{kl} u(Ox)O_{ki} O_{li} } } } = \sum\limits_{l = 1}^n {\sum\limits_{k = 1}^n {D_{kl} u(Ox)\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {O_{ki} O_{li} } } \right)} } $
$\displaystyle = \sum\limits_{l = 1}^n {\sum\limits_{k = 1}^n {D_{kl} u(Ox)\delta _{kl} } } = \Delta u\left( {Ox} \right) = 0$
Trong đó $\displaystyle \delta _{kl}$ là kí hiệu Kronecker.
Sửa bởi Vnkvant lúc 31-03-2016 03:34
 
brahman
Cảm ơn Vua, hy vọng chúng ta còn tìm thấy nhiều điều hấp dẫn từ topic này.

brahman muốn nói thêm một chút nhận xét của mình về bài 7/86. Đây là một sự kết hợp đầy đủ của DEFINITION trang 40. Ta tóm tắt lại như sau. Bằng cách chỉ ra được hàm Green cho bt
$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} - \Delta u = f & \;\;\; \text{in } B_0(0,r) \\ u = g & \;\;\; \text{on } \partial B(0,r) \end{matrix} \right.$

chính là:
$\displaystyle G(x,y) = \Phi ( y - x ) - \Phi \left( |x| \left( \frac{y}{r} - \frac{ rx }{ |x|^2 } \right) \right) $

chúng ta có thể ktr lại các tính chất đặt trưng:
$\displaystyle \forall x \in B( 0,r) \; , \; \left\{ \begin{matrix} - \Delta _y G( x , y ) & = & \delta ( x - y ) & \text{if}& y \in B(0,r ) \\ G( x , y ) & = & 0 & \text{if}& y \in \partial B(0,r) \end{matrix} \right.$

trong đó $\displaystyle \delta$ là phân bố Dirac, còn $\displaystyle \Phi$ là nghiệm cơ bản trên toàn $\displaystyle \mathbb{R}^n$ của pt Laplace, nó là:
$\displaystyle \Phi ( x - y ) = \left\{ \begin{matrix} - \frac{1}{ 2 \pi } \ln | x - y| & , & n = 2 \\ \frac{1}{ n (n-2) \alpha (n) } \frac{1}{ | x-y|^{n-2}} & , & n \ge 3 \end{matrix}\right.$

Chúng mình dùng CT Green thứ 2 để xem xét nghiệm của bài toán
$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} \Delta u = 0 & \;\;\; \text{in } B_0(0,r) \\ u = g & \;\;\; \text{on } \partial B(0,r) \end{matrix} \right.$

Rằng, nếu nghiệm tồn tại và đủ trơn thì nó sẽ ở dưới dạng
$\displaystyle \begin{align}u (x) & = - \int_{\partial B( 0,r)} g (y) \frac{\partial G }{ \partial n }(x,y) \text{d} S(y) \nonumber\\ &= \frac{ r^2 - |x|^2 }{ n \alpha (n) r} \int_{ \partial B(0,r)} \frac{ g(y)}{ | x - y| ^n } \text{d} S(y) \;\; , \; \forall x \in B_0( 0,r) \end{align}$

THEOREM 15 thì khẳng định chiều ngược lại: nếu $\displaystyle u$ xác định bởi $\displaystyle (1)$ thì nó sẽ đủ trơn và là nghiệm của bt trên.

Cuối cùng, bài tập 5/86 nói rằng bt trên không còn nghiệm nào khác ngoài nó ! Tức là nếu $\displaystyle u_1 ,u_2$ là hai nghiệm của bt thì $\displaystyle u_1 - u_2$ là nghiệm bài toán:
$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} \Delta u = 0 & \;\;\; \text{in } B_0(0,r) \\ u = 0 & \;\;\; \text{on } \partial B(0,r) \end{matrix} \right.$

dùng oánh giá bt 5/86 chúng ta có $\displaystyle u_1 - u_2 = 0$.

Ta có thể cm 5/86 như sau. Nếu $\displaystyle u$ là nghiệm bài toán
$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} \Delta u = f & \;\;\; \text{in } B_0(0,r) \\ u = g & \;\;\; \text{on } \partial B(0,r) \end{matrix} \right.$

thì dùng CT Green 2 (dưới sự phù hộ của các ĐL hội tụ tích phân) chúng ta viết nghiệm dưới dạng
$\displaystyle u(x) = \int_{B(0,r)} f(y) G(x,y) \text{d} y - \int_{\partial B( 0,r)} g (y) \frac{\partial G }{ \partial n } (x,y) \, \text{d} S(y) $

Từ đây, dùng BĐT tam giác và các đánh giá dưới tp, chúng ta có đpcm của BT 5/86

Nếu có đồng đạo nào chứng minh 5/86 cho trường hợp ta thay thế $\displaystyle B(0,1)$bằng $\displaystyle \Omega $ bị chặn bất kỳ thì thật tuyệt ! Smile

Trong thời gian chờ reply của mọi người, brahman tạm lái sang chủ đề hàm Green cho pt nhiệt. Đây là một bài brahman rất thích:

11/87: Assume $\displaystyle n=1$ and $\displaystyle u( x,t) = v \left( \frac{x^2}{t} \right)$
a) show
$\displaystyle u_t = u_{xx} \;\; \Leftrightarrow \;\; (*) \, : \, 4z v''(z) + (2+z) v'(z) =0 \; , \, \forall z > 0$

b) show that the general solution of (*) is
$\displaystyle v (z) = c \int_{0}^z \text{e} ^{ -s/4} s^{ -1/2} \text{d} s + d $

c) Differentiate $\displaystyle v( x^2 / t )$ with respect to $\displaystyle x$ and select the constant $\displaystyle c$ properly, so as to obtain the fundamental solution $\displaystyle \Phi$ for $\displaystyle n=1$.
Sửa bởi brahman lúc 03-07-2009 08:09
tat tvam asi
 
vualangbat
Cám ơn anh brahman đã nói khá kĩ về cái mệnh đề tương đương này, nói chung từ công thức Green chúng ta có một chút biến đổi sẽ thu được công thức Poisson mà chúng ta làm ở trên. Hôm nay chờ bạn nào đó có câu trả lời cho bài trên của anh brahman vì bài này khá nhẹ nhàng, có câu 1 là có biến đổi chút nhưng cũng khá đơn giản, câu hai thì chắc ai cũng giải được từ ok mà cái nghiệm này đôi lúc ta cũng hay biết được viết dưới dạng $\displaystyle 2\sqrt \pi cErf\left[ {\frac{{\sqrt z }}{2}} \right] + d$ trong đó cái Erf là cái error function. Ý cuối thì ko còn gì.

Thêm một số bài từ chương 2, hi vọng chúng ta cùng tham gia giải quyết nhanh gọn để chuyển qua đọc chương khác.

Bài 4/86. Chúng ta nói $\displaystyle v \in C^2 \left( {\overline U } \right)$ là subharmonic nếu
$\displaystyle - \Delta v \le 0$ trong $\displaystyle U$

(a) Chứng minh với $\displaystyle v$ là subharmonic thì
$\displaystyle v(x) \le \int\limits_{B(x,r)} {vdy} $ với mọi $\displaystyle B(x,r) \subset U$

(b)Chứng minh
$\displaystyle \max _{\overline U } v = \max _{\partial \overline U } v$

(c) Cho $\displaystyle \phi :R \to R$ là smooth và convex. Giả sử $\displaystyle u$ là harmonic và $\displaystyle v = \phi (u)$. Chứng minh $\displaystyle v$ là subharmonic.
(c) Chứng minh $\displaystyle v: = \left| {Du} \right|^2 $ là subharmonic khi $\displaystyle u$ là harmonic.
Bài 8/86. Cho $\displaystyle u$ là nghiệm của phương trình
$\displaystyle \Delta u = 0$ trong $\displaystyle R_ + ^n $ và $\displaystyle u = g$ trên $\displaystyle \partial R_ + ^n $

Cho bởi Poisson's formula for the half-space. Giả sử $\displaystyle g$ bị chặn và $\displaystyle g(x) = \left| x \right|$ với $\displaystyle x \in \partial R_ + ^n ,\left| x \right| \le 1$. Chứng minh $\displaystyle Du$ không bị chặn trong lân cận $\displaystyle x=0$.

Còn thêm một số bài 9,10,13,14,18 cần giải nữa. Gõ đề dài quá lần sau gõ tiếp không nhờ anh brahman gõ lên luôn.
Sửa bởi vualangbat lúc 05-07-2009 11:48
 
vualangbat
Để tiện cho các bạn theo dõi mình sẽ có một số gợi ý cho lời giải các bài toán trên

Bài 4/86.
(a). Câu này khá đơn giản
(b). Sử dụng maximum principle
(c).Sử dụng tính điều hòa của hàm $\displaystyle u$ và tính lồi của $\displaystyle \phi $
(d). Sử dụng câu (c).
Bài 8/86.
Bài này khá khó ta có thể dùng công thức tích phân Poisson

Bài số 10/87 cũng là một tính chất khá hay của phương trình nhiệt.
Hi vọng mọi người tham gia cho vui.
 
Chuyển đến chuyên mục:
Bài viết Blog
Vnkvant
» An epsilon of room
luongdinhgiap
» Đêm suy tư _17...
Vnkvant
» Vai trò của to...
hoadai
» ISI Impact factor...
betadict
» George Box và h...
gshopf
» Vé số dưới ...
fuzzy2015
» Toán hay là kh...
Vnkvant
» Ai là tiến sĩ...
umf
» Mục đích họ...
mathexy
» Dự đoán độ...
Search E-books
Bạn có thể tìm kiếm và tải về trực tiếp với hơn 1.5 triệu đầu sách điện tử bằng cách nhập từ khóa ở ô tìm kiếm bên dưới. Để yêu cầu tài các liệu khác, bạn phải đăng nhập với tài khoản của diễn đàn và vào đây


Facebook

Bạn có thể theo dõi tin tức từ Cộng đồng MathVn trên Facebook bằng cách Like hoặc nhấp vào biểu tượng bên dưới

Shoutbox
You must login to post a message.

30-12-2017 09:40
Diễn đàn vừa sửa xong lỗi encode Tiếng việt. Gửi lời xin lỗi với mọi người!

11-06-2016 05:04
Grin

11-06-2016 04:33
để mình hỏi mấy người bạn chụp giúp xem. Trên mạng có một số mới nhưng số 2 của 2016 thì chưa


10-06-2016 14:59
Cùng dịch tạp chí kvant, nhưng em muốn xem các số mới nhất. Ai có thể share các số 2015-2016

08-05-2016 17:24
các anh chi nào có đề thi cao học viện toán đợt 1 năm 2016 k ạ?

03-05-2016 23:21
http://kvant.mccme
.ru/ Trang này có các số từ 2014 trở về trước. Grin

23-04-2016 05:23
Không biết ai có bản gốc số mới nhỉ Grin

22-04-2016 21:35
Các anh có thể dịch thêm Đề ra kì này của Kvant được không ạ?Em thấy chuyên mục đó có nhiều bài hay ạ. Smile

22-04-2016 16:46
Ok! Hi vọng sớm vận động đc anh em, có thể dịch thêm một số bài viết hay

22-04-2016 10:22
Thế thì tuyệt quá ạ. Smile

22-04-2016 05:22
Có ai muốn khởi động việc dịch tạp chí kvant lại ko nhỉ?

13-04-2016 23:10
Angry

13-04-2016 00:32
ai có đề olympic năm nay post lên nhé Grin

08-04-2016 14:10
Diễn đàn toán học thì có lâu rồi. Chỉ tiếc là bây giờ nó lung tung quá, nản.

08-04-2016 11:56
mọi người biết diễn đàn này chưa diendantoanhoc.net

29-03-2016 03:38
chúc mọi người có kỳ nghỉ Easter vui vẻ Grin

25-03-2016 02:25
trang này thú vị thật, mình đọc bài toán sandwich suy nghĩ một lúc rồi xem lời giải bằng hình ảnh hóa ra là đơn giản thật, quá thú vị Smile


24-03-2016 12:27
Hình như có giới hạn cho số kí tự ở shoutbox. Mình vửa gửi lại.

24-03-2016 12:26

24-03-2016 09:59
Không vào được prime ơi, bỏ vào thẻ [url] thử.

2,916,538 lượt ghé thăm