18. November 2017 17:07
Các trang chính
· Trang Nhất
· Diá»…n đàn
· Tạp Chí MathVn
· Bản dịch Kvant
· Blogs
· FAQ
· Liên hệ
· Tìm kiếm
· Liên kết

· ThÆ° viện
Đăng nhập
Tên tài khoản

Mật khẩu



Có phải bạn chưa là thành viên của cộng đồng MathVn?
Nhấp vào đây để đăng ký.

Có phải bạn quên mật khẩu?
Yêu cầu mật khẩu mới ở đây.
Search Articles
Bạn có thể tìm kiếm và tải về trực tiếp các bài báo khoa học bằng cách nhập DOI ở ô tìm kiếm bên dưới. DOI có thể tìm thấy ngay trong trang xuất bản online của bài báo mà bạn muốn tải. Bạn có thể nhập DOI thí dụ sau: 10.1007/BF01192073



Wolfram Alpha
Tính toán trực tuyến với Wolfram Alpha bằng cách nhập từ khóa vào bên dưới


Donation
Cộng đồng MathVn hoạt động với mục đích phi lợi nhuận, tuy nhiên chúng tôi rất cần sự trợ giúp tài chính đề duy trì sự hoạt động của website cũng như ra mắt các ấn bản miễn phí, tổ chức các hoạt động offline... Mọi sự đóng góp dù nhỏ đều là quý báu và chúng tôi chân thành ghi nhận điều đó.



Wikipedia
Bạn có thể tra cứu các thuật ngữ Toán học qua Wikipedia bằng cách nhập từ khóa vào bên dưới



RSS Feeds
Subscribe to our Feeds

Latest Downloads
Latest News
Latest Articles
Latest Threads
Latest Weblinks

Validated Feeds

Trực tuyến
LONGbhkn09:39:44
Vnkvant17:38:44
giangpna98 1 week
pvan1611 1 week
kqh26 1 week
angrypig298 2 weeks
legendarthas 3 weeks
tranthienchuong 3 weeks
Thành viên trực tuyến
· Khách trực tuyến: 1

· Thành viên trực tuyến: 0

· Tổng số thành viên: 2,538
· Thành viên mới nhất: nmhuy942
Bản dịch Kvant
· Đề ra kì này Số 04-2008
· Đề ra kì này Số 06-2006
· Đề ra kì này Số 05-2006
· Đề ra kì này Số 04-2006
· Đề ra kì này Số 03-2006
· Đê ra kì này Số 02-2006
· Đề ra kì này Số 01-2006
· Đề ra kì này Số 06-2002
· Đề ra kì này Số 04-2002
· Đề ra kì này Số 06-2001
Chủ đề diễn đàn
Chủ đề mới nhất
· Đại số...
· Bá»™ sách cá...
· Nhóm xyclic
· Điểm bấ...
· Tính giá»›i h...
· Bất đẳ...
· Korner's constructio...
· An inequality collec...
· Vài bài vá»...
· PhÆ°Æ¡ng trìn...
· L.C.Evans - PDE
· Olympic Sinh viên...
· Olympiad SV МФ...
· Generalization of so...
· Tặng daogiauvan...
· Mùa hè nóng...
· Collected inequality...
· Olympic SV Kiev
· Bất đẳ...
· Tài khoản MA...
· Bài tập vá...
· Chú ý: THÁN...
· Số Pi và nh...
· Chuyển công ...
· Ôn tập mÃ...
· Đăng ký tha...
· PhÆ°Æ¡ng pháp...
· Olympic Sinh viên...
· Olimpiad Toán Ä...
· Problem Of The Month I.
Chủ đề nóng nhất
· Nhờ download... [333]
· Vài bài tá... [85]
· Những Ä‘... [83]
· Problem Of The Mo... [76]
· BV Functions In O... [51]
· Đề thi tu... [47]
· Thông tin vÃ... [40]
· L.C.Evans - PDE [38]
· Các bạn t... [38]
· Problems of Purdu... [36]
· Problem of Washin... [36]
· Ôn tập m... [34]
· Olympic Sinh viÃ... [34]
· Olympic SV Kiev [33]
· Olympic Toán S... [33]
· PT vi phân [32]
· Ôn tập m... [31]
· Tính giá»›... [30]
· Call for papers-K... [30]
· Đóng góp... [30]
· Mùa hè nÃ... [28]
· Tuyển táº... [28]
· Cập nhậ... [28]
· Korner's construc... [27]
· Đăng ký ... [26]
· Nhờ download... [26]
· An inequality col... [25]
· Generalization of... [25]
· PhÆ°Æ¡ng phÃ... [25]
· Bất Ä‘á... [24]
· Má»™t câu ... [24]
· Tìm nghiá»... [24]
· Tích phân hay [23]
· Bài tập v... [22]
· Kì Thi Olympic... [22]
· Olimpiad Toán ... [21]
· Mathematics Magazine [21]
· PhÆ°Æ¡ng trÃ... [21]
· PhÆ°Æ¡ng trÃ... [20]
· Collected inequal... [20]
· Chuyển cô... [20]
· College Mathemati... [20]
· Olympic Sinh viÃ... [19]
· Tặng daogiau... [19]
· Tài khoản... [19]
· Chú ý: THÃ... [19]
· Số Pi và... [19]
· Phép biến... [19]
· Journal Ма... [19]
· The Qualifying Ex... [19]
Xem chủ đề
Cá»™ng Đồng MathVn » For Senior Undergraduate Students » Giải tích và PDEs
Bài tập về không gian định chuẩn
2heart3spade
cho p,q r là các số thá»±c dÆ°Æ¡ng và $\displaystyle \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = 1$
Giả sử các hàm x(t),y(t),z(t) trên [a,b] tồn tại các tích phân $\displaystyle {\int\limits_b^a {{{\left| {x(t)} \right|}^p}dt} }$ ,$\displaystyle {\int\limits_b^a {{{\left| {y(t)} \right|}^q}dt} }$,$\displaystyle {\int\limits_b^a {{{\left| {z(t)} \right|}^r}dt} }$ .

Chứng minh rằng:

$\displaystyle {\int\limits_a^b {\left| {x(t)y(t)z(t)} \right|dt \le \left( {\int\limits_b^a {{{\left| {x(t)} \right|}^p}dt} } \right)} ^{\frac{1}{p}}}{\left( {\int\limits_b^a {{{\left| {y(t)} \right|}^q}dt} } \right)^{\frac{1}{q}}}{\left( {\int\limits_b^a {{{\left| {z(t)} \right|}^r}dt} } \right)^{\frac{1}{r}}}$

Trường hợp tổng quát có đúng không? chứng minh?
Sửa bởi Vnkvant vào lúc 21-12-2009 22:31
 
umf
chào chú 2heart3spade đây là má»™t bài khá cÅ©
Ta có thể làm như sau
Giả sử $\displaystyle \frac{1}{q}+\frac{1}{r}=\frac{1}{s}$ khi đó ta thu được hai đẳng thức tương đường
$\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{s}=1$ và $\displaystyle \frac{1}{q/s}+\frac{1}{r/s}=1$
Áp dụng bất đẳng thức Holder thông thường ta có kết quả sau
$\displaystyle \left \| xyz \right \|_{1}\leq \left \| x \right \|_{p}\left \| yz \right \|_{s}=\left \| x \right \|_{p}\left (\int_{a}^{b} \left | yz \right |^{s} dt\right )^{1/s}\leq \left \| x \right \|_{p} \left [\left (\int_{a}^{b} \left | y \right | ^{q}dt\right )^{s/q}\left (\int_{a}^{b} \left | z \right | ^{r}dt\right )^{s/r} \right ]^{1/s} \leq \left \| z \right \|_{p}\left \| y \right \|_{q}\left \| z \right \|_{r}$
Ta có điều phải chứng minh.
Về bất đẳng thức tổng quát thì vẫn đúng và được Kufner, John chứng minh vào năm 1977.
Sẽ trình bày về cái này sau.
 
pack
Góp vui vá»›i anh em má»™t chút Grin
Nói về không gian định chuẩn, có một phần nhỏ nhưng quan trọng đó là chuẩn tương đương.

Hai chuẩn $\displaystyle \left\| {.} \right\|_1$ và $\displaystyle \left\| {.} \right\|_2 $ được gọi là tương đương nếu tồn tại các hằng số $\displaystyle \alpha ,\beta > 0$ sao cho với mọi $\displaystyle x$ thuộc không gian vecto định chuẩn $\displaystyle E$ thì thỏa mãn bất đẳng thức sau $\displaystyle \alpha \left\| x \right\|_1 \le \left\| x \right\|_2 \le \beta \left\| x \right\|_1 $.

Các chuẩn sau có tương đương không?
Câu 1: Trong không gian $\displaystyle C^2 \left[ {a,b} \right]$
$\displaystyle \left\| x \right\|_1 = \mathop {\max }\limits_{a \le t \le b} \left| {x(t)} \right| + \mathop {\max }\limits_{a \le t \le b} \left| {x'(t)} \right| + \mathop {\max }\limits_{a \le t \le b} \left| {x''(t)} \right|$ và $\displaystyle \left\| x \right\|_2 = \left| {x(a)} \right| + \mathop {\max }\limits_{a \le t \le b} \left| {x'(t)} \right| + \mathop {\max }\limits_{a \le t \le b} \left| {x''(t)} \right|$

Câu 2:Trong không gian $\displaystyle C^1 \left[ {a,b} \right]$
$\displaystyle \left\| x \right\|_1 = \left| {x(a)} \right| + \mathop {\max }\limits_{a \le t \le b} \left| {x'(t)} \right|$ và $\displaystyle \left\| x \right\|_2 = \int\limits_a^b {\left| {x(t)} \right|dt} + \mathop {\max }\limits_{a \le t \le b} \left| {x'(t)} \right|$

Câu 3:Trong không gian $\displaystyle R^n$
$\displaystyle \left\| x \right\|_1 = \mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{1 \le i \le n} \left| {x_i } \right|$ và $\displaystyle \left\| x \right\|_2 = \mathop {m{\rm{ax}}}\limits_{1 \le k \le n} \left| {\sum\limits_{i = 1}^k {x_i } } \right|$

Tạm tạm thế đã, chờ ý kiến của mọi người.
Sửa bởi Vnkvant vào lúc 21-12-2009 22:35
 
vualangbat
rất vui vì dạo này có nhiều bạn quan tâm đến các chủ đề liên quan đến đại học hi vọng là sẽ có nhiều hÆ¡n nữa các bạn là sinh viên tham gia thảo luận các chủ đề bổ ích này
về chủ đề này cũng là một chủ đề quan trọng trong giáo trình giải tích hàm
nói thêm về cái mà pack nói là các chuẩn tương đương thì quả thật theo định nghĩa thì ko có gì khó hiểu nhưng trong các bài toán áp dụng thì không phải lúc nào ta cũng tìm thấy bất đẳng thức kẹp như mong muốn nên ta cần chú ý một số các ý sau
+ Khi chứng minh hai chuẩn ko tương đương thì đơn giản nhất là ta xét một dãy hội tụ theo chuẩn này nhưng ko hội tụ theo chuẩn kia hoặc đến giới hạn khác.
+ Khi ta ko tìm được bất đẳng thức kẹp hai vế thì có thể chứng minh một bất đẳng thức bất kì đánh giá hai chuẩn và sau đó chứng minh ko gian ta xét cùng với hai chuẩn đó là ko gian Banach.
+ Một chú ý nữa là ta dùng định lí trung gian là chuẩn 1 tương đương chuẩn 2, 2 tương đường 3 thì suy ra 1 tương đương 3.

Trong các bài của pack thì câu đầu có vẻ bị thiếu..câu hai thì chỉ cần chú ý đánh giá bất đẳng thức từ cái tích phân Newton-Leibniz..
Hi vọng các bạn cho lời giải nhé.
 
2heart3spade
câu 1:
ta có:
$\displaystyle \mathop {\max \left| {x(t)} \right|}\limits_{a \le t \le b} \ge \left| {x(a)} \right|$
do đó:

$\displaystyle {\left\| x \right\|_1} \ge {\left\| x \right\|_2}$ (1)

mặc khác ta có:
$\displaystyle x(t) \le x(a) + \int\limits_a^t {{x^,}(s)} ds \Rightarrow \mathop {\max \left| {x(t)} \right|}\limits_{a \le t \le b} \le \left| {x(a) + \int\limits_a^b {\left| {{x^,}(t)} \right|} } \right|dt \le \left| {x(a)} \right| + (b - a)\mathop {\max \left| {{x^,}(t)} \right|}\limits_{a \le t \le b} $
do đó:
$\displaystyle {\left\| x \right\|_1} \le \left| {x(a)} \right| + (b - a)\mathop {\max \left| {{x^,}(t)} \right|}\limits_{a \le t \le b} + \mathop {\max \left| {{x^,}(t)} \right|}\limits_{a \le t \le b} + \mathop {\max \left| {{x^{,,}}(t)} \right|}\limits_{a \le t \le b} \le (b - a + 1)(\left| {x(a)} \right| + \mathop {\max \left| {{x^,}(t)} \right|}\limits_{a \le t \le b} + \mathop {\max \left| {{x^{,,}}(t)} \right|}\limits_{a \le t \le b} )$ (2)
từ (1) và (2) ta có 2 chuẩn trên là tương đương.

câu 2:

ta thấy:

$\displaystyle \left| {x(a)} \right| \le \left| {x(t)} \right| + \int\limits_a^b {\left| {{x^,}(t)} \right|} dt$
lấy tích phân 2 vế ta có:
$\displaystyle (b - a)\left| {x(a)} \right| \le \int\limits_a^b {\left| {x(t)} \right|} dt + (b - a)\int\limits_a^b {\left| {{x^,}(t)} \right|} dt \le \int\limits_a^b {\left| {x(t)} \right|} dt + (b - a)\mathop {\max \left| {{x^,}(t)} \right|}\limits_{a \le t \le b} $

do đó

$\displaystyle {\left| x \right|_1} \le \frac{1}{{b - a}}\left( {\int\limits_a^b {\left| {x(t)} \right|} dt + (b - a)\mathop {\max \left| {{x^,}(t)} \right|}\limits_{a \le t \le b} } \right) + \mathop {\max \left| {{x^,}(t)} \right|}\limits_{a \le t \le b} \le \max \left( {\frac{1}{{b - a}},2} \right)\left( {\int\limits_a^b {\left| {x(t)} \right|} dt + \mathop {\max \left| {{x^,}(t)} \right|}\limits_{a \le t \le b} } \right) \le \alpha {\left| x \right|_2}$

mặc khác:

$\displaystyle \int\limits_a^b {\left| {x(t)} \right|} dt \le (b - a)\mathop {\max \left| {x(t)} \right|}\limits_{a \le t \le b} \le (b - a)\left| {x(a)} \right| + \int\limits_a^b {\left| {{x^,}(t)} \right|} dt \le (b - a)\left( {\left| {x(a)} \right| + \mathop {\max \left| {{x^,}(t)} \right|}\limits_{a \le t \le b} } \right)$
từ đó suy ra:
$\displaystyle {\left| x \right|_1} \ge (b - a)\left( {\left| {x(a)} \right| + \mathop {\max \left| {{x^,}(t)} \right|}\limits_{a \le t \le b} } \right) + \mathop {\max \left| {{x^,}(t)} \right|}\limits_{a \le t \le b} \ge (b - a + 1){\left| x \right|_2} = \beta {\left| x \right|_2}$
suy ra 2 chuẩn trên là tương đương.
 
Chuyển đến chuyên mục:
Bài viết Blog
Vnkvant
» An epsilon of room
luongdinhgiap
» Đêm suy tÆ...
Vnkvant
» Vai trò cá»...
hoadai
» ISI Impact factor...
betadict
» George Box vaÌ...
gshopf
» Vé số d...
fuzzy2015
» Toán hay là...
Vnkvant
» Ai là tiế...
umf
» Mục Ä‘Ã...
mathexy
» Dá»± Ä‘oÃ...
Search E-books
Bạn có thể tìm kiếm và tải về trực tiếp với hơn 1.5 triệu đầu sách điện tử bằng cách nhập từ khóa ở ô tìm kiếm bên dưới. Để yêu cầu tài các liệu khác, bạn phải đăng nhập với tài khoản của diễn đàn và vào đây


Facebook

Bạn có thể theo dõi tin tức từ Cộng đồng MathVn trên Facebook bằng cách Like hoặc nhấp vào biểu tượng bên dưới

Shoutbox
You must login to post a message.

10/06/2016
Grin

10/06/2016
để mình hỏi mấy người bạn chụp giúp xem. Trên mạng có một số mới nhưng số 2 của 2016 thì chưa

10/06/2016
Cùng dịch tạp chí kvant, nhưng em muốn xem các số mới nhất. Ai có thể share các số 2015-2016

08/05/2016
các anh chi nào có đề thi cao học viện toán đợt 1 năm 2016 k ạ?

03/05/2016
http://kvant.mccme
.ru/ Trang này có các số từ 2014 trở về trước. Grin

22/04/2016
Không biết ai có bản gốc số mới nhỉ Grin

22/04/2016
Các anh có thể dịch thêm Đề ra kì này của Kvant được không ạ?Em thấy chuyên mục đó có nhiều bài hay ạ. Smile

22/04/2016
Ok! Hi vọng sớm vận động đc anh em, có thể dịch thêm một số bài viết hay

22/04/2016
Thế thì tuyệt quá ạ. Smile

21/04/2016
Có ai muốn khởi động việc dịch tạp chí kvant lại ko nhỉ?

13/04/2016
Angry

12/04/2016
ai có đề olympic năm nay post lên nhé Grin

08/04/2016
Diễn đàn toán học thì có lâu rồi. Chỉ tiếc là bây giờ nó lung tung quá, nản.

08/04/2016
mọi người biết diễn đàn này chưa diendantoanhoc.net

28/03/2016
chúc mọi người có kỳ nghỉ Easter vui vẻ Grin

24/03/2016
trang này thú vị thật, mình đọc bài toán sandwich suy nghĩ một lúc rồi xem lời giải bằng hình ảnh hóa ra là đơn giản thật, quá thú vị Smile

24/03/2016
Hình như có giới hạn cho số kí tự ở shoutbox. Mình vửa gửi lại.

24/03/2016

24/03/2016
Không vào được prime ơi, bỏ vào thẻ [url] thử.

24/03/2016
Tình cờ vào trang web này. Xem thử video về khái niệm liên tục (đặc biệt là bài toán sandwich) thấy rất thú vị. Mọi người thử xem.

Render time: 0.24 seconds 2,879,560 lượt ghé thăm