18. November 2017 16:56
Các trang chính
· Trang Nhất
· Diá»…n đàn
· Tạp Chí MathVn
· Bản dịch Kvant
· Blogs
· FAQ
· Liên hệ
· Tìm kiếm
· Liên kết

· ThÆ° viện
Đăng nhập
Tên tài khoản

Mật khẩu



Có phải bạn chưa là thành viên của cộng đồng MathVn?
Nhấp vào đây để đăng ký.

Có phải bạn quên mật khẩu?
Yêu cầu mật khẩu mới ở đây.
Search Articles
Bạn có thể tìm kiếm và tải về trực tiếp các bài báo khoa học bằng cách nhập DOI ở ô tìm kiếm bên dưới. DOI có thể tìm thấy ngay trong trang xuất bản online của bài báo mà bạn muốn tải. Bạn có thể nhập DOI thí dụ sau: 10.1007/BF01192073



Wolfram Alpha
Tính toán trực tuyến với Wolfram Alpha bằng cách nhập từ khóa vào bên dưới


Donation
Cộng đồng MathVn hoạt động với mục đích phi lợi nhuận, tuy nhiên chúng tôi rất cần sự trợ giúp tài chính đề duy trì sự hoạt động của website cũng như ra mắt các ấn bản miễn phí, tổ chức các hoạt động offline... Mọi sự đóng góp dù nhỏ đều là quý báu và chúng tôi chân thành ghi nhận điều đó.



Wikipedia
Bạn có thể tra cứu các thuật ngữ Toán học qua Wikipedia bằng cách nhập từ khóa vào bên dưới



RSS Feeds
Subscribe to our Feeds

Latest Downloads
Latest News
Latest Articles
Latest Threads
Latest Weblinks

Validated Feeds

Trực tuyến
LONGbhkn09:28:40
Vnkvant17:27:40
giangpna98 1 week
pvan1611 1 week
kqh26 1 week
angrypig298 2 weeks
legendarthas 3 weeks
tranthienchuong 3 weeks
Thành viên trực tuyến
· Khách trực tuyến: 1

· Thành viên trực tuyến: 0

· Tổng số thành viên: 2,538
· Thành viên mới nhất: nmhuy942
Bản dịch Kvant
· Đề ra kì này Số 04-2008
· Đề ra kì này Số 06-2006
· Đề ra kì này Số 05-2006
· Đề ra kì này Số 04-2006
· Đề ra kì này Số 03-2006
· Đê ra kì này Số 02-2006
· Đề ra kì này Số 01-2006
· Đề ra kì này Số 06-2002
· Đề ra kì này Số 04-2002
· Đề ra kì này Số 06-2001
Chủ đề diễn đàn
Chủ đề mới nhất
· Đại số...
· Bá»™ sách cá...
· Nhóm xyclic
· Điểm bấ...
· Tính giá»›i h...
· Bất đẳ...
· Korner's constructio...
· An inequality collec...
· Vài bài vá»...
· PhÆ°Æ¡ng trìn...
· L.C.Evans - PDE
· Olympic Sinh viên...
· Olympiad SV МФ...
· Generalization of so...
· Tặng daogiauvan...
· Mùa hè nóng...
· Collected inequality...
· Olympic SV Kiev
· Bất đẳ...
· Tài khoản MA...
· Bài tập vá...
· Chú ý: THÁN...
· Số Pi và nh...
· Chuyển công ...
· Ôn tập mÃ...
· Đăng ký tha...
· PhÆ°Æ¡ng pháp...
· Olympic Sinh viên...
· Olimpiad Toán Ä...
· Problem Of The Month I.
Chủ đề nóng nhất
· Nhờ download... [333]
· Vài bài tá... [85]
· Những Ä‘... [83]
· Problem Of The Mo... [76]
· BV Functions In O... [51]
· Đề thi tu... [47]
· Thông tin vÃ... [40]
· L.C.Evans - PDE [38]
· Các bạn t... [38]
· Problems of Purdu... [36]
· Problem of Washin... [36]
· Ôn tập m... [34]
· Olympic Sinh viÃ... [34]
· Olympic SV Kiev [33]
· Olympic Toán S... [33]
· PT vi phân [32]
· Ôn tập m... [31]
· Tính giá»›... [30]
· Call for papers-K... [30]
· Đóng góp... [30]
· Mùa hè nÃ... [28]
· Tuyển táº... [28]
· Cập nhậ... [28]
· Korner's construc... [27]
· Đăng ký ... [26]
· Nhờ download... [26]
· An inequality col... [25]
· Generalization of... [25]
· PhÆ°Æ¡ng phÃ... [25]
· Bất Ä‘á... [24]
· Má»™t câu ... [24]
· Tìm nghiá»... [24]
· Tích phân hay [23]
· Bài tập v... [22]
· Kì Thi Olympic... [22]
· Olimpiad Toán ... [21]
· Mathematics Magazine [21]
· PhÆ°Æ¡ng trÃ... [21]
· PhÆ°Æ¡ng trÃ... [20]
· Collected inequal... [20]
· Chuyển cô... [20]
· College Mathemati... [20]
· Olympic Sinh viÃ... [19]
· Tặng daogiau... [19]
· Tài khoản... [19]
· Chú ý: THÃ... [19]
· Số Pi và... [19]
· Phép biến... [19]
· Journal Ма... [19]
· The Qualifying Ex... [19]
Mô hình toán học của nguyên tử
Toán LýMô hình toán học của nguyên tử

Phan Thành Nam (IST, Austria)

Giới thiệu. Một trong những thành công quan trọng nhất của cơ học lượng tử là giải thích được câu hỏi: "Tại sao vật chất, từ kích thước nhỏ như nguyên tử, tới kích thước lớn như các ngôi sao, không bị sụp đổ?". Trong bài viết này chúng ta sẽ thảo luận đôi nét về các nguyên tử, và các bạn đọc quan tâm có thể tìm đọc cuốn sách mới xuất bản "The stability of matter in quantum mechanics" của Lieb và Seiringer

Tại sao electron không rơi vào hạt nhân?

Chúng ta bắt đầu với nguyên tử hydro, cậu em út trong gia đình các nguyên tử. Cấu trúc nguyên tử hydro rất đơn giản: tại trạng thái trung hòa nó chỉ có một electron có điện tích $-1$ quay quanh một hạt nhân có điện tích $+1$ (Chúng ta chọn hệ đơn vị trong đó các hằng số vật lý như khối lượng electron, $(-1)\times$ điện tích electron, hằng số Planck$/ (2 \pi)$, vận tốc ánh sáng, đều bằng $1$). Theo mô hình của Bohr thì ở trạng thái cân bằng nhất electron sẽ chuyển động cách hạt nhân chừng $10^{-10}$ mét (bán kính Bohr), rất lớn so với bán kính hạt nhân chừng $10^{-15}$ mét.



Một câu hỏi tự nhiên là vì sao electron không rơi vào hạt nhân? Theo định luật Coulomb, electron luôn bị kéo về phía hạt nhân với một lực $V=1/r$, trong đó $r$ là khoảng cách từ electron tới hạt nhân. Điều gì đã ngăn nó không rơi vào hạt nhân?

Vật lý cổ điển không giải thích được câu hỏi này. Hơn nữa, nếu ta lấy hạt nhân làm gốc tọa độ (trong $\mathbb R^3$) và ký hiệu $x$ là vị trí và $p=mv$ là động lượng của electron, thì theo vật lý cổ điển năng lượng của nguyên tử là
\[E(x,p) = \frac{1}{2}|p|^2 - \frac{1}{{|x|}}.\]
Với $(x,p)\in \mathbb R^3\times \mathbb R^3$, năng lượng này có thể âm tùy ý. Điều này biến nguyên tử hydro thành một nguồn cung cấp năng lượng vô hạn, vì nó có thể cho đi một nguồn năng lượng lớn bất kỳ. Tất nhiên điều này không xảy ra trong thực tế.

Câu trả lời của cơ học lượng tử

Cơ học lượng tử có thể bác bỏ nghịch lý này. Trong các sách vật lý có một cách giải thích bằng nguyên lý bất định Heisenberg. Nguyên lý này nói rằng khác với cơ học cổ điển, trong cơ học lượng tử ta không thể xác định chính xác đồng thời vị trí và động lượng của một hạt điện tích. GS Đàm Thanh Sơn có giải thích về nguyên lý bất định và bán kính Bohr ở đây



Trong cơ học lượng tử, electron không được mô tả đơn giản bằng hai điểm $(x,p)$ trong $\mathbb R ^3$ mà bằng một hàm sóng $u\in L^2( \mathbb R ^3, \mathbb C )$, $||u||=1$, (ở đây ta ký hiệu $||.||$ và $(.,.)$ là chuẩn và tích vô hướng trong $L^2$, trong đó $(f,g) = \int {\overline {f(x)} g(x)dx}$), cùng với giả định rằng $|u(x)|^2$ là mật độ xác suất electron tại vị trí $x$ (tức là xác suất electron có vị trí trong miền $U \subset \mathbb R^3$ bằng $\int_U |u(x)|^2dx$), và $|\widehat u(p)|^2$ là mật độ xác suất tìm thấy electron có động lượng $p$. Ở đây, ký hiệu $\widehat u(p): = (2\pi )^{ - 3/2} \int_{\mathbb{R}^3 } {u(x)e^{ - i x.p} dx}$ là biến đổi Fourier. Nói nôm na, vị trí $x$ thuộc vào "không gian thông thường" còn động lượng $p$ thuộc vào "không gian đối ngẫu" (không gian Fourier).

Nguyên lý bất định Heisenberg có thể viết dưới dạng Toán học như sau
\[
\left( {\int\limits_{\mathbb{R}^3 } {p^2 |\widehat u(p)|^2 dp} } \right)\left( {\int\limits_{\mathbb{R}^3 } {x^2 |u(x)|^2 dx} } \right) \geqslant \frac{9}
{4}~\text{với mọi}~u\in H^1(\mathbb R^3), ||u||_{L^2}=1.
\]
Chú ý là $\int\limits_{\mathbb{R}^3 } {p^2 |\widehat u(p)|^2 dp}=\int\limits_{\mathbb{R}^3 } {|\nabla u(x)|^2 dx}=(u,-\Delta u)$ bởi vì $p \widehat u(p)=i\widehat{\nabla u}(p) $. Cũng do điều này mà các nhà vật lý thường viết toán tử $-\Delta$ bởi $p^2$ và xem $p = i\nabla$.

Bài tập. Chứng minh nguyên lý bất định Heisenberg.

(Hướng dẫn: Dùng tích phân từng phần $-3(u,u) = (u,\nabla u.x)+(\nabla u,xu)$.)

Bây giờ chúng ta trở lại với cách giải thích bằng nguyên lý bất định Heisenberg: nếu electron rơi vào hạt nhân (hoặc bị nhốt trong một vùng rất nhỏ gần hạt nhân) thì động năng của nó sẽ rất lớn. Và điều này mâu thuẫn với nguyên lý cơ bản của vật lý , rằng trạng thái cân bằng nhất của một hệ thống chính là trạng thái có năng lượng thấp nhất.

Tuy nhiên, giải thích này không thực sự chặt chẽ, bởi vì nếu electron bị nhốt trong một vùng rất nhỏ xung quanh hạt nhân thì động năng của nó rất lớn (tăng về $\infty$) nhưng đồng thời thế năng, vốn xác định bằng lực Coulomb, sẽ rất nhỏ (giảm về $-\infty$). Do đó ta không thể đưa ra kết luận về tổng số năng lượng nếu không có một số tính toán định lượng chi tiết hơn.

Năng lượng của electron là tổng động năng và thế năng
\[
E (u): = T_u + V_u := \frac{1}{2}\int\limits_{\mathbb{R}^3 } {|\nabla u(x)|^{\text{2}} dx} - \int\limits_{\mathbb{R}^3 } {\frac{{|u(x)|^2 }}
{{|x|}}dx} .
\]
Bất đẳng thức Heisenberg không giải thích được vì sao khi động năng $T_u$ lớn thì tổng năng lượng $E(u)$ cũng lớn. Để làm điều này, ta cần dùng bất đẳng thức Hardy
\[
\int\limits_{\mathbb{R}^3 } {|\nabla u(x)|^2 dx} \geqslant \frac{1}
{4}\int\limits_{\mathbb{R}^3 } {\frac{{|u(x)|^2 }}
{{|x|^2 }}dx} ~\text{với mọi}~u\in H^1(\mathbb R^3).
\]
Bài tập. Chứng minh rằng nếu $u\in L^2(\mathbb R^3), ||u||=1$ thì $T_u\ge \frac{1}{8}V_u^2$. Từ đó suy ra
\[E(u) \ge \frac{1}{2}T_u -4 \ge \frac{1}{16}V_u^2 -4.\]
Từ đó, ta thấy rằng không những năng lượng electron bị chặn dưới, mà để năng lượng không quá lớn (một hệ ổn định luôn có mức năng lượng thấp nhất) thì cả động năng và giá trị tuyệt đối của thế năng đều không thể quá lớn. Do đó không thể hạn chế electron trong một lân cận quá nhỏ gần hạt nhân.

Bức tranh về nguyên tử hydro

Chúng ta sẽ thảo luận về trạng thái ổn định nhất của nguyên tử hydro, tức là trạng thái tương ứng với cực tiểu của phiếm hàm năng lượng $E(u)$. Chặn dưới của $E(u)$ có được nhờ bất đẳng thức Hardy không phải là tối ưu. Dưới đây ta sẽ chứng minh $\min E(u)=-1/2$ với cực tiểu $u_0(x)=\pi^{-1/2} e^{-|x|}$.

Một cách chứng minh đơn giản là sử dụng nguyên lý Perron-Frobenius (xem Lieb-Loss, Analysis, 2nd Ed, 2001. Corrollary 11.9.). Nguyên lý này nói rằng nếu phương trình Schrodinger $-\Delta +V(x)=0$ có một nghiệm dương (theo nghĩa thích hợp) thì toán tử $-\Delta+V(x)$ là xác định dương, tức là tích vô hướng $(u,(-\Delta+V(x))u )_{L^2} \ge 0$ với mọi hàm số $u$. Nói riêng, trong trường hợp nguyên tử hydro, bởi vì $u_0(x)=\pi^{-1/2} e^{-|x|}$ là một nghiệm dương cho phương trình
\[\left( { - \frac{1}{2}\Delta - \frac{1}{{|x|}} + \frac{1}{2}} \right) u_0(x) = 0,\]
ta có kết luận mong muốn.

Nguyên lý Perron-Frobenius có thể chứng minh một cách hình thức như sau: do $\psi>0$ ta có thể viết $u=v\psi$ và dùng tích phân từng phần ta có
\[\begin{array}{l} \displaystyle (u,Ku) &=& \int {\overline v \psi ( - \Delta + V)v\psi } = \int {\overline v \psi ( - (\Delta v)\psi - 2\nabla v.\nabla \psi - v(\Delta \psi ) + Vv\psi )} \hfill \\ \displaystyle
&=& \int {\overline v \psi ( - (\Delta v)\psi - 2\nabla v.\nabla \psi )} = \int {|\nabla v|^2 \psi ^2 } \geqslant 0 . \end{array}\]
Hơn nữa dấu "=" xảy ra chỉ khi $\nabla v=0$, tức $v=const$.

Sở dĩ nói một cách hình thức là vì các tính toán trên chỉ "hợp pháp" nếu $V$ và $u$ thỏa các điều kiện thích hợp. Trong trường hợp nguyên tử hydro, các tính toán trên là hợp pháp nếu $u\in C_c^\infty (\mathbb R^3\setminus \{ 0 \})$. Do đó ta có thể viết một chứng minh chặt chẽ bằng cách xấp xỉ.

Bài tập. Chứng minh rằng với mọi $u\in H^1(\mathbb R^3)$, tồn tại một dãy $u_n\in C_c^\infty(\mathbb{R}^3\setminus\{0\})$ sao cho $u_n\to u$ trong $H^1(\mathbb{R}^3)$. Từ đó suy ra $E(u_n)\to E(u)$ và $E(u)\ge -\frac{1}{2}||u||^2_{L^2}$.

Bất đẳng thức Hardy cũng có thể chứng minh theo cách tương tự.

Bài tập. Tìm một nghiệm dưới dạng $\psi (x)=|x|^{\alpha}$ cho phương trình
\[
- \Delta \psi (x) - \frac{{\psi (x)}}
{{4|x|^2 }} = 0~~\text{với mọi}~x\ne 0.
\]
Dùng nguyên lý Perron-Frobenius và sự xấp xỉ để suy ra bất đẳng thức Hardy (Lưu ý: trong bất đẳng thức Hardy, $1/4$ là hằng số tốt nhất nhưng không đạt được).

Bây giờ chúng ta có thể thưởng thức bức tranh về nguyên tử hydro ở trạng thái năng lượng thấp nhất. Chú ý là về mặt nguyên tắc electron có thể xuất hiên ở bất kỳ nơi nào, mặc dù xác suất mà nó nằm xa hạt nhân giảm rất nhanh (kiểu $\exp$). Do đó bán kính nguyên tử là một đại lượng không được định nghĩa rõ ràng.



Mô hình nguyên tử

Trong phần trước chúng ta chỉ mới nói về nguyên tử hydro. Bây giờ tổng quát hơn ta xét một nguyên tử bao gồm một hạt nhân điện tích $Z>0$ cố định tại gốc tọa độ trong $\mathbb R^3$, và $N$ electron với điện tích $-1$ chuyển động xung quanh. Các thảo luận của chúng ta sẽ dựa trên một số nguyên lý.

$\bullet$ Hàm sóng: Một hệ gồm $N$ electron sẽ được mô tả bằng một hàm sóng $u(x_1,...,x_N)$ trong $L^2(\mathbb{R}^{3N})$ với $||u||_{L^2}=1$, trong đó $x_i\in \mathbb{R}^3$ là vị trí của electron thứ $i$. Hàm sóng này phải thỏa mãn nguyên lý Pauli, tức là nó đổi dấu khi ta đổi chỗ 2 biến $x_i,x_j$ bất kỳ. Hệ quả là 2 electron không thể chia sẻ cùng một vị trí (bởi nếu $x_i=x_j$ với $i\ne j$ thì $u=0$) . Thực ra "vị trí" một hạt không chỉ bao gồm tọa độ của hạt trong không gian mà còn gồm cả sự quay nội tại của hạt, gọi là spin. Trong thực tế, các electron có 2 trạng thái spin (nếu tính thêm spin thì biến $x_i$ sẽ được thay bằng $(x_i,\sigma_i)\in \mathbb R^3 \times \{ 1,2 \}$ và các tích vô hướng cần hiểu theo nghĩa $(f,g) = \sum\limits_{\sigma} {{\int_{\mathbb R^{3N}} {f(x,\sigma )} g(x,\sigma) dx}}$.) nên chỉ có tối đa 2 electron trong cùng một orbital. Tuy nhiên việc thêm spin không làm thay đổi bản chất các bài toán thảo luận trong bài viết này, nên để đơn giản chúng ta có thể xem như chỉ có 1 trạng thái spin.

$\bullet$ Hamiltonian: Năng lượng tại trạng thái $u$ được tính bằng $E(u)=(u,H_{N}u)$ với
\[ H_{N} = -\frac{1}{2} \sum\limits_{i = 1}^N {\Delta _i } - \sum\limits_{i = 1}^N {\frac{Z}{|x_i |}} + \sum\limits_{1 \leqslant i < j \leqslant N} {\frac{1}{|x_i - x_j |}},\]
gồm tổng động lượng của N electron và lực Coulomb giữa electron-hạt nhân (hút) và electron-electron (đẩy).

$\bullet$ Năng lượng bị "lượng tử": năng lượng của những trạng thái "ổn định" chỉ có thể là các giá trị riêng của $H_N$, và các hàm sóng tương ứng chính là các vector riêng. Ví dụ trong nguyên tử hydro, người ta biết được tất cả các trị riêng của toán tử $-\frac{1}{2}\Delta-\frac{1}{|x|}$ trong $L^2(\mathbb R^3)$ là $-1/(2N^2), N=1,2,...$, trong đó $-1/2$ là mức năng lượng thấp nhất và $-1/8,-1/18, ...$ là các mức năng lượng cao hơn mà nguyên tử có thể nhảy lên khi nó bị kích thích.

Dưới đây chúng ta sẽ chỉ thảo luận về năng lượng thấp nhất $E(N): = \inf \{ (u,H_Nu)\}$ (ở đây $H_N$ và $E(N)$ phụ thuộc vào $Z$). Từ chặn dưới của nguyên tử hydro, ta có thể thấy ngay $E(N) \ge -Z^2N/2 >-\infty$. Chú ý rằng không chắc tồn tại một hàm sóng đạt được năng lượng $E(N)$. Tuy nhiên, nếu có một hàm sóng như vậy thì, như đã nói ở trên, nó phải là một vector riêng của $H_N$. Điều này có thể chứng minh một cách dễ dàng.

Bài tập. [Phương trình Euler-Lagrange] Giả sử $H$ là một toán tử tuyến tính (không bị chặn) tự liên hợp trên một không gian Hilbert bất kỳ. Giả sử tồn tại $u_0\in D(H)$, $||u_0||=1$, sao cho
\[\mu :=(u_0,Hu_0)_{L^2}=\inf_{||u||=1} {(u,Hu)}> -\infty.\]
Chứng minh rằng: $Hu_0=\mu u_0.$
(Hướng dẫn: Xét $u_t=(u_0+tv)/||u_0+tv||$ và tính đạo hàm của $(u_t,Hu_t)$ tại $t=0$.)

Dưới ngôn ngữ của lý thuyết phổ, ta có thể nói $E(N)$ là đáy của phổ của $H_N$. Một định lý nổi tiếng của Hunziker, Van Winter và Zhislin (xem http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/schroe.pdf, p. 242.} nói rằng $E(N-1)$ là đáy của essential-spectrum của $H_N$, cụ thể hơn:
\[
{\text{ess-spec}}H_N = [E(N - 1),\infty ).
\]
Một hệ quả hiển nhiên là $E(N)\le E(N-1)$. Điều này là dễ hiểu về mặt vật lý vì ta luôn có thể đặt electron thứ N tại vô cùng (lúc đó thế năng của electron này tới hạt nhân và các electron khác vô cùng nhỏ) và với động năng nhỏ tùy ý. Hơn nữa, nếu thì $E(N)$ là một trị riêng của $H_N$ (tức là tồn tại một hàm sóng cực tiểu). Trong trường hợp này ta nói là hạt nhân có thể mang $N$ electron. (Chú ý là nếu $E(N)=E(N-1)$ thì về mặt nguyên tắc $H_N$ vẫn có thể có hàm sóng cực tiểu, nhưng trạng thái cực tiểu này không thực sự ổn định vì một electron vẫn có thể chạy về vô cùng. Ngoài ra trong trường hợp này có một dãy hàm sóng cực tiểu nhưng không có dãy con hội tụ trong $L^2$.)

Một định lý quan trọng khác của Zhislin vào những năm 60 nói rằng một hạt nhân có điện tích $Z$ có thể mang $1,2,...,Z$ electron. Điều này có nghĩa là các ion dương và nguyên tử trung hòa luôn tồn tại (ít nhất trong mô hình mà chúng ta đang xét). Còn các ion âm? Thực nghiệm chỉ ra rằng ion âm có thể không tồn tại (chẳng hạn các khí trơ) hoặc tồn tại, nhưng chỉ có ion -1 và -2 và không có ion $-3$. Giả thuyết này là một trong số các bài toán mở mà chúng ta sẽ thảo luận tiếp theo.

Các bài toán mở

Trước hết ta quan tâm đến nguyên tử trung hòa (tức $N=Z$.)

1. Năng lượng thấp nhất. Câu hỏi đầu tiên là xác định năng lượng cực tiểu $E(Z)$. Hiện tại chưa ai có thể tính tường minh $E(Z)$ (ngoại trừ nguyên tử hydro), nên một câu hỏi thú vị về mặt toán học là tìm công thức xấp xỉ cho $E(Z)$ khi $Z$ lớn (mặc dù một số nhà vật lý và hóa học không quan tâm câu hỏi dạng này, vì trong bảng tuần hoàn hiện tại chỉ có 118 nguyên tử). Kết quả tốt nhất hiện giờ là
\[E(Z) = c_{TF} Z^{7/3} + c_s Z^2 + c_{D{\text{S}}} Z^{5/3} + o(Z^{5/3})\]
Số hạng đầu tiên được dự đoán từ mô hình xấp xỉ Thomas-Fermi (bằng semiclassical analysis) và được chứng minh là chính xác bởi Lieb-Simon ('77). Số hạng thứ hai được dự đoán bởi Scott và chứng minh bởi Hughes (chặn dưới) và Siedentop-Weikard vào khoảng 1990. Số hạng thứ ba được dự đoán bởi Dirac-Schwinger và được chứng minh bởi Fefferman-Seco ('94) (xem On the Dirac and Schwinger Corrections to the Ground-State Energy of an Atom, Adv. Math. (1994), hoặc một bản sơ lược: On the energy of a large atom, Bull. AMS (1990). Thực ra Fefferman và Seco chứng minh công thức xấp xỉ với năng lượng của ion âm nhất (có thể thấp hơn năng lượng của nguyên tử trung hòa). Nhưng sau này người ta có thể chỉ ra sự khác biệt giữa năng lượng của ion âm nhất và năng lượng nguyên tử trung hòa thuộc $o(Z^{5/3})$, chẳng hạn thông qua mô hình xấp xỉ Hartree-Fock: xem Bach, Error bound for the Hartree-Fock energy of atoms and Molecules, Commun. Math. Phys. (1992) và Solovej, The ionization conjecture in Hartree-Fock theory, Annals of Math. (2003)).

Trong chứng minh của mình Fefferman và Seco cũng đưa ra dự đoán cho số hạng tiếp theo, nhưng chưa ai có thể chứng minh một cách chặt chẽ số hạng này.

2. Bán kính nguyên tử. Mặc dù có nhiều định nghĩa bán kính của nguyên tử, nhưng nói chung các nguyên tử có bán kính không khác biệt nhiều, đặc biệt là các nguyên tử trong cùng một nhóm trong bảng tuần hoàn (Các giá trị thực nghiệm có thể tham khảo ở đây http://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_radius).

Một cách toán học, ta có thể định nghĩa: bán kính là số $R_Z>0$ sao cho $\int_{|x|\ge R_Z} p(x)dx=1/2$ trong đó $p(x)=N \int_{R^{3(N-1)}}{|u(x_1,...,x_N)|^2dx_2...dx_N}$ là hàm mật độ (với $u$ là hàm sóng cực tiểu ứng với $E(Z)$). Và câu hỏi là liệu có tồn tại $\lim_{Z\to \infty}R_Z$? hay ít ra tồn tại các các hằng số $C>c>0$ độc lập với $Z$ sao cho $C>R_Z>c$ với mọi $Z$?

Cho đến bây giờ, chúng ta chỉ biết $R_Z\ge cZ^{-5/21}$ bởi Seco-Sigal-Solovej ('90), Bound on the ionization energy of large atoms, Commun. Math. Phys. (1990)

3. Năng lượng ion. Năng lượng ion được tính bằng $I(Z)=E(Z-1)-E(Z)>0$. Đây là năng lượng tối thiểu ta cần cung cấp nếu muốn "xóa sổ" 1 electron từ nguyên tử trung hòa (Các giá trị thực nghiệm có thể tham khảo ở đây http://en.wikipedia.org/wiki/Ionization_energy).

Tương tự như bán kính nguyên tử, năng lượng ion $I(Z)$ được dự đoán là thuộc O(1). Tuy nhiên chúng ta chỉ mới biết $I(Z)\le CZ^{20/21}$ (Seco-Sigal-Solovej '90).

Bây giờ, ta quan tâm cả các ion (tức $N$ có thể khác $Z$).

4. Ion âm tối đại. Mọi người tin rằng hạt nhân với điện tích $Z$ không thể mang nhiều hơn $Z+2$ electron, tức là tồn tại $N_c(Z) \le Z+2$ sao cho
\[E(N)=E(N_c(Z))~\text{với mọi}~N\ge N_c(Z).\]
Hiện tại chúng ta đã biết $N_c(Z)\leq Z+O(Z^{5/7})$ (Seco-Sigal-Solovej '90) và $N_c(Z)<2Z+1$ (Lieb '84, Atomic and Molecular Negative Ions, Phys. Rev. Lett. Vol. 52, N.5 (1984)). Vì chứng minh của Lieb rất ngắn gọn nên có thể nêu ra ở đây. Lưu ý rằng trong chứng minh này chúng ta không cần sử dụng bất đẳng thức ngặt mà chỉ sử dụng sự kiện phương trình Schrodinger có nghiệm.

Chứng minh $N_c(Z)<2Z+1$: Giả sử tồn tại hàm sóng $\Psi(x_1,...,x_N)$ thỏa mãn phương trình Schrodinger $ H_N \Psi = E(N) \Psi.$ Lấy tích vô hướng (trong $L^2(\mathbb R^{3N})$) phương trình này với $|x_N| \Psi$ ta được
\[\begin{array}{l} \displaystyle
0 = \left< {|x_N |\Psi ,(H_{N} - E(N) )\Psi} \right> &=& \left< {|x_N |\Psi ,(H_{N - 1} - E(N) )\Psi } \right>+ \frac{1}{2}\left< {|x_N |\Psi , - \Delta _N \Psi } \right> \hfill\\ \displaystyle
&~& + \left< {\Psi,\left[ { - Z + \sum\limits_{i = 1}^{N - 1} {\frac{{|x_N |}}
{{|x_i - x_N |}}} } \right]\Psi } \right>.
\end{array}\]
Số hạng đầu tiên bên vế phải là không âm vì $H_{N-1}\ge E(N-1)\ge E(N)$ trong không gian $(N-1)$ biến $x_1$,..., $x_{N-1}$. Số hạng thứ hai cũng không âm vì $|x|(-\Delta) + (-\Delta) |x| \ge 0$ trong $L^2(\mathbb R^3)$ (xem bài tập phía dưới). Với số hạng thứ ba, dùng tính phản đối xứng của hàm sóng và bất đẳng thức tam giác (là bất đẳng thức ngặt trên hầu hết $\mathbb R^{3N}$) ta có
\[\begin{array}{l} \displaystyle
\left< {\Psi,\left[ { - Z + \sum\limits_{i = 1}^{N - 1} {\frac{{|x_N |}}
{{|x_i - x_N |}}} } \right]\Psi } \right>&=& \left\langle {\Psi ,\left[ { - Z + \frac{1}
{N}\sum\limits_{1 \leqslant i < j \leqslant N} {\frac{{|x_i | + |x_j |}}
{{|x_i - x_j |}}} } \right]\Psi } \right> \hfill\\ \displaystyle
&>& \left< { \Psi, \left[ { -Z+\frac{N-1}{2}} \right]\Psi} \right> =-Z+\frac{N-1}{2} .
\end{array}\]
Vậy $0>-Z+\frac{N-1}{2}$, tức là $N<2Z+1$.

Bài tập. Chứng minh rằng với mọi $f\in H^2(\mathbb R^3)$ ta có
\[
\operatorname{Re} \int\limits_{\mathbb{R}^3 } {|x|\overline {f(x)} ( - \Delta f)(x)dx} \geqslant 0.
\]
(Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức Hardy với $|x|^{1/2}f$.)

5. Tính lồi của . Mọi người tin rằng $N\mapsto E(N)$ là hàm lồi. Giả thuyết này đưa tới hệ quả là nếu thì , tức là nếu hạt nhân có thể mang được $N$ electron thì nó cũng có thể mang được $N-1$ electron. Nhưng ngay cả điều có vẻ hiển nhiên này vẫn còn là một bài toán mở.

Về các vấn đề trong bài viết này, bạn đọc có thể tham gia thảo luận chi tiết hơn trong một chủ đề cùng tên ở diễn đàn MathVn
Bình luận
Chưa có bình luận nào được gửi.
Gửi Bình luận
Xin hãy đăng nhập để gửi bình luận của bạn.
Bình chọn
Bình chọn chỉ khả dụng cho thành viên đã đăng nhập.

Xin hãy đăng nhập hoặc đăng ký thành viên để bình chọn.

Tuyệt! Tuyệt! 100% [2 Bình chọn]
Rất tốt Rất tốt 0% [Không chọn]
Tốt Tốt 0% [Không chọn]
Bình thường Bình thường 0% [Không chọn]
Tệ Tệ 0% [Không chọn]
Bài viết Blog
Vnkvant
» An epsilon of room
luongdinhgiap
» Đêm suy tÆ...
Vnkvant
» Vai trò cá»...
hoadai
» ISI Impact factor...
betadict
» George Box vaÌ...
gshopf
» Vé số d...
fuzzy2015
» Toán hay là...
Vnkvant
» Ai là tiế...
umf
» Mục Ä‘Ã...
mathexy
» Dá»± Ä‘oÃ...
Search E-books
Bạn có thể tìm kiếm và tải về trực tiếp với hơn 1.5 triệu đầu sách điện tử bằng cách nhập từ khóa ở ô tìm kiếm bên dưới. Để yêu cầu tài các liệu khác, bạn phải đăng nhập với tài khoản của diễn đàn và vào đây


Facebook

Bạn có thể theo dõi tin tức từ Cộng đồng MathVn trên Facebook bằng cách Like hoặc nhấp vào biểu tượng bên dưới

Shoutbox
You must login to post a message.

10/06/2016
Grin

10/06/2016
để mình hỏi mấy người bạn chụp giúp xem. Trên mạng có một số mới nhưng số 2 của 2016 thì chưa

10/06/2016
Cùng dịch tạp chí kvant, nhưng em muốn xem các số mới nhất. Ai có thể share các số 2015-2016

08/05/2016
các anh chi nào có đề thi cao học viện toán đợt 1 năm 2016 k ạ?

03/05/2016
http://kvant.mccme
.ru/ Trang này có các số từ 2014 trở về trước. Grin

22/04/2016
Không biết ai có bản gốc số mới nhỉ Grin

22/04/2016
Các anh có thể dịch thêm Đề ra kì này của Kvant được không ạ?Em thấy chuyên mục đó có nhiều bài hay ạ. Smile

22/04/2016
Ok! Hi vọng sớm vận động đc anh em, có thể dịch thêm một số bài viết hay

22/04/2016
Thế thì tuyệt quá ạ. Smile

21/04/2016
Có ai muốn khởi động việc dịch tạp chí kvant lại ko nhỉ?

13/04/2016
Angry

12/04/2016
ai có đề olympic năm nay post lên nhé Grin

08/04/2016
Diễn đàn toán học thì có lâu rồi. Chỉ tiếc là bây giờ nó lung tung quá, nản.

08/04/2016
mọi người biết diễn đàn này chưa diendantoanhoc.net

28/03/2016
chúc mọi người có kỳ nghỉ Easter vui vẻ Grin

24/03/2016
trang này thú vị thật, mình đọc bài toán sandwich suy nghĩ một lúc rồi xem lời giải bằng hình ảnh hóa ra là đơn giản thật, quá thú vị Smile

24/03/2016
Hình như có giới hạn cho số kí tự ở shoutbox. Mình vửa gửi lại.

24/03/2016

24/03/2016
Không vào được prime ơi, bỏ vào thẻ [url] thử.

24/03/2016
Tình cờ vào trang web này. Xem thử video về khái niệm liên tục (đặc biệt là bài toán sandwich) thấy rất thú vị. Mọi người thử xem.

Render time: 0.23 seconds 2,879,527 lượt ghé thăm